§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det A =
det A
=
+
+
- разложение по 1-й строке;
det A
=
+
+
- разложение по 2-й строке;
det A
=
+
+
- разложение по 3-й строке;
det A = + + - разложение по 1-му столбцу;
det A = + + - разложение по 2-му столбцу;
det A = + + - разложение по 3-му столбцу.
Пример.
Вычислить определитель: det A =
а) путем разложения по строке или столбцу;
б) с использованием его свойств.
разложение по 1-й строке: det A = 1(-4) + 2(-8) + 3(-10) = -4 -16 -30 = -50;
разложение по 3-му столбцу: det A = 3(-10) + 4(-5) + 0(-5) = -30 -20 + 0 = -50.
с использованием его свойств:
det
A =
=
=
=
=
= 1
+ 0 + 0 = - 50
§ 5. Определители 4-го порядка.
A =
- матрица 4 -го порядка;
- элементы матрицы (i
= 1, … , 4; j = 1, … ,4).
Mij - минор элемента - это определитель матрицы 3 -го порядка, полученной из данной матрицы 4 -го порядка путем вычеркивания i -той строки и j - того столбца:
M11
=
M23
=
M42
=
и т.д.
Aij - алгебраическое дополнение элемента :
A11 = M11 , A23 = - M23 , A42 = M42 , A34 = - M34 и т.д.
Правило (выбора знака):
Пример. A
=
A11
=
=
= 2
+ 0 − 3
= −24 − 51 = −75
A23
= −
=
= − (0 − 1
+ 0) =
= 8 − 0 = 8
A34
= −
=
= −
=
=
= −
=
=
= − (0 − 0 + 1
)
= −
= −24
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
= + + + = + + + =
= + + + = + + +
Определитель 4-го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det
A =
=
+
+
+
, i = 1, 2, 3, 4
или:
det
A =
=
+
+
+
, j = 1, 2, 3, 4
Свойства определителей 4-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го и 3-го порядков (свойства 1÷9).
Вычисление определителей 4-го порядка намного упрощается, если разумно применить свойства определителей, например: получить много нулей в какой-нибудь строке или столбце или привести определитель к треугольному виду.
Пример.
det
A =
=
=
=
=
=
=
=
=0 + 0 + 0 + 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= 0 + 1
+ 0 =
= − = −(135 + 44) = −179.