4.3. Ограниченные функции

Определение. Функция f(x), определенная на множестве P, называется ограниченной сверху или снизу, если множество ее значений f(P) является ограниченным множеством соответственно сверху или снизу.

Если f(p) является ограниченным (или неограниченным) множеством, то говорят, что функция f(X) ограничена (или неограничена).

Основные элементарные функции f(x) = xⁿ, n – четное натуральное число и (x) = a^x, определенные на множестве R действительных чисел (P = R), относятся к функциям, ограниченных снизу. Для обеих функций точные нижние границы одинаковы, т.е. inf f(R) = inf (R) = 0. Для множества f(R) точная нижняя граница принадлежит этому множеству, а для множества (R) – нет.

Функции f(x) = sin x, (x) = cos x, (x) = arcsin x, g(x) = arcos x, h(x) = arctg x и u(x) = arcctg x ограничены: inf f(R) = inf (R) = –1;

inf ([– 1,1]) = inf h(R) = –; inf g([– 1,1]) = inf u(R) = 0;

sup f(R) = sup(R) = 1; sup([– 1,1]) = sup h(R) = ; sup g([– 1,1]) = sup u(R) = .

Остальные основные элементарные функции f(x) = xⁿ, n – нечетное натуральное число, (x) = log_ax, x) = tg x и g(x) = ctg x неограничены.

4.4. Монотонные функции

Определение. Если для двух любых различных значений аргумента x₁ и x₂, взятых из области определения Р функции f, из неравенства x₁< x₂ следует, что

а) f(x₁) < f(x₂), то функция f называется возрастающей в области Р,

б) f(x₁)  f(x₂), то функция f называется неубывающей в области Р,

в) f(x₁) > f(x₂), то функция f называется убывающей в области Р,

г) f(x₁)  f(x₂), то функция f называется невозрастающей в области Р.

Функции всех этих типов носят общее название монотонных.

Из основных элементарных функций монотонными на всей области их существования являются следующие функции: f(x) = xⁿ, n – нечетное натуральное число (возрастающая); y = a^x (возрастающая, если a > 1, убывающая, если 0 < a < 1); y = log_a x (возрастающая, если a > 1, убывающая, если 0 < a < 1); y = arcsin x (возрастающая); y = arccos x (убывающая); y = arctg x (возрастающая); y = arсctg x (убывающая).

Остальные основные элементарные функции монотонными являются лишь на некоторых подмножествах, выделенных из всей области существования соответствующей функции. Например, функция y = sin x на всей числовой оси не является монотонной. Однако на отдельно выделенных отрезках [–kk, где kZ, данная функция является монотонной. На отрезках, для которых k = 0, ±2, ±4, ... функция y = sinx является возрастающей, а на отрезках, для которых k = ±1, ±3, ±5, ... – убывающей.

4.5. Четные и нечетные функции

Определение. Пусть функция f(x) определена в конечной (–a,a) или бесконечной (–∞ ∞ окрестности точки нуль, кроме, может быть, самой точки нуль. Если при противоположных по знаку значениях аргумента, взятых из данной окрестности, значения функции равны между собой, то функция называется четной: f(–x) = f(x).

Если же при аналогичных условиях значения функции противоположны по знаку f(–x) = – f(x), то функция называется нечетной.

Основные элементарные функции: y = xⁿ, где n – четное натуральное число; y = cos x – четные.

Функции y = sin x, y = xⁿ, где n – нечетное натуральное число; y = tgx; y = ctg x; y = arcsin x; y = arcctg x – нечетные.

Функции y = a^x, y = log_ax, y = arccos x, y = arcctgx не являются ни четными, ни нечетными.

График четной функции симметричен относительно оси Oy, график нечетной – относительно начала координат.