8.2. Односторонняя непрерывность функции в точке. Функции, непрерывные в промежутке

Функция f (x) называется непрерывной слева от точки х₀, если:

1. функция определена в точке х₀ и в левой ее полуокрестности;

2. существует предел функции в точке х₀ слева и этот предел равен значению функции в этой точке:

. (1.24)

Аналогично определяется непрерывность функции справа от точки х₀. Условие 2) при этом запишется в виде:

(1.25)

Если же х₀ есть внутренняя точка промежутка, т.е. функция f (x) определена как слева, так и справа от точки х₀, то для того, чтобы выполнялось равенство (1.23), выражающее непрерывность функции в точке х₀ в обычном смысле, необходимо и достаточно, чтобы имели место оба равенства одновременно: и (1.24), и (1.25). Иными словами, непрерывность функции в точке х₀ равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно справа и слева.

Если функция непрерывна в каждой внутренней точке х интервала (a,b), то такая функция называется непрерывной в интервале (a,b).

Если функция непрерывна в каждой внутренней точке х сегмента [a,b], а в концевых точках – для левого конца непрерывна справа, а для правого конца непрерывна слева, т.е.

и ,

то говорят, что функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a,b].

График функции, непрерывной в промежутке, представляет собой непрерывную (сплошную) линию на этом промежутке.

8.3. Равномерная непрерывность

Предположим, что функция у = f (x) определена и непрерывна во всем промежутке Р (замкнутом или нет, конечном или бесконечном), т.е. непрерывна в каждой точке х₀Р. Тогда для каждой точки х₀ из Р в отдельности по заданному найдется , что влечет за собой . При изменении х₀ в пределах Р, даже если неизменно, число _ , вообще говоря, будет меняться. В достоверности этого можно убедиться из рисунка 14. Число _ , пригодное на участке, где функция изменяется медленно (график представляет пологую кривую), может оказаться слишком большим для участка быстрого изменения функции (где график круто поднимается или опускается). Иными словами, число _ вообще зависит не только от  , но и от х₀.

Рис. 14

Таким образом, по отношению к функции f (x), непрерывной в промежутке Р, встает вопрос: существует ли, при заданном  , такое _ , которое годилось бы для всех точек х₀ из этого промежутка?

Определение. Если для каждого числа   0 найдется такое число _  0, что х–х₀  _ влечет за собой f (x) – f (x₀)|   , где бы в пределах рассматриваемого промежутка Р ни лежали точки х₀ и х, то функцию f (x) называют равномерно непрерывной в промежутке Р.

В этом случае число _ оказывается зависимым только от  и может быть указано до выбора точки х₀: _ годится для всех х₀ одновременно.

Равномерная непрерывность означает, что во всех частях промежутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента х₁ и х₂, чтобы добиться заданной степени близости соответствующих значений функции f (x₁) и f (x₂), т.е. для любого   0 можно найти _  0, зависящее только от e , такое, что х₁ и х₂ из промежутка Р, удовлетворяющих неравенству х₂ – х₁  _ , значения функции удовлетворяют неравенству f (x₂) – f (x₁)|   .

Непрерывность функции во всех точках промежутка не влечет необходимо за собой ее равномерной непрерывности в этом промежутке. Однако, если этот промежуток Р замкнут, т.е. если Р = [a,b], то справедлива теорема, принадлежащая Кантору и которую мы примем без доказательства.

Теорема Кантора. Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b], то она и равномерно непрерывна в этом промежутке.