2.3. Аналитический способ задания функции

Если функциональная зависимость такова, что f обозначает аналитическое выражение, т.е. совокупность математических операций, которые производятся в определенной последовательности над аргументом x, то говорят, что функция задана аналитически. Например: y = x² – 2; ; y = 3 – ln x² и т.п.

Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент x, имеет естественную область применения. Под этой областью понимают множество всех тех значений x, для которых выражение сохраняет смысл, т.е. имеет вполне определенное конечное действительное значение. Так, для выражения x² – 2 такой областью будет все множество R действительных чисел, т.е. бесконечный интервал (–∞ +∞ Для выражения эта область сведется к замкнутому промежутку  за пределами которого значение его перестает быть действительным. Напротив, выражению придется в качестве естественной области применения отнести открытый промежуток (–1,1), ибо на концах его знаменатель обращается в нуль. Иногда область значений, для которых выражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных промежутков: для это будут промежутки (–∞,–1] и [1,+∞), для – промежутки (–∞,–1], (–1, 1) и (1, +∞) и т.д.

Если функция задана аналитически, то она может быть изображена графически на координатной плоскости хOу.

В последующем изложении нам в большинстве случаев придется рассматривать функции, заданные аналитическим выражением для которых область определения функции распространяется на всю естественную область применимости аналитического выражения. Поэтому, если в дальнейшем нет специальной оговорки, то под областью определения функции, заданной аналитически, мы будем подразумевать естественную область применимости аналитического выражения. Если же по каким-либо причинам область определения функции, заданной аналитическим выражением, ограничена множеством Р, а выражение имеет смысл и вне множества Р, выходить за пределы области определения Р функции, разумеется, все же нельзя.

Такая ситуация может возникнуть, если функция задается не одной и той же формулой для всех значений аргумента х, но для одних – одной формулой, а для других – другой. Примером такой функции, в промежутке (–∞ +∞, может служить функция, определяемая следующими двумя формулами

Здесь естественная область применения каждого выражения выходит за пределы области определения Р, на котором данное выражение задает функцию.

Другая ситуация, которая типична для рассматриваемого случая, – это установление области определения сложной функции , для которой и внешняя y = f(u), и внутренняя u = (x) функции заданы аналитическими выражениями. Областью определения такой сложной функции является или вся область определения функции u = (x), или та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения внешней функции y = f(u). Например, областью определения функции ( , u = 1– x²) является отрезок [–1,1], так как u < 0 при |x| > 1 и, следовательно, функция не определена при этих значениях x (хотя функция u = 1 – x² определена при всех значениях x).