8.4. Разрывы функции. Классификация разрывов

Если функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и, может быть, в самой точке х₀, однако условия непрерывности в этой точке не выполняются, то точка х₀ называется точкой разрыва функции, а функция называется разрывной.

Остановимся подробнее на вопросе о разрыве функции f (x) в точке х₀ и рассмотрим три случая.

1. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности. Для нее в точке х₀ существуют конечные односторонние пределы. Тогда точка х₀ будет точкой разрыва функции если:

а) – функция f(x) имеет в точке х₀ разрыв справа;

б) – разрыв слева;

в)

или – функция f (x) имеет в точке х₀ разрывы как справа, так и слева.

Такие разрывы функции называют обыкновенным или разрывом первого рода. В этом случае говорят также, что функция f (x) в точке х₀ производит скачок, по величине равный f (x + 0) – f (x₀ – 0). Если в точке х₀ скачок функции равен нулю, т.е. , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва. В случае устранимого разрыва функцию можно доопределить так, чтобы получить непрерывную функцию в этой точке. Например, функцию , для которой, как известно, (или ) можно доопределить и получить непрерывную функцию

Таким образом, точки разрыва первого рода делятся на точки устранимого и точки неустранимого разрыва.

Например, рассмотрим функцию

Эта функция определена для всех хR, но в точке х = х₀ = 0 имеем:

f(x₀) = 0,

и, следовательно,

Таким образом, функция sign x в точке x₀ = 0 как справа, так и слева, имеет разрывы первого рода и, поскольку , то точка x₀ является точкой неустранимого разрыва: . Скачки функции в точке x₀ справа и слева равны: . Скачок же функции в точке x₀ составляет: .

2. Функция определена в окрестности точки x₀, но для нее:

а) не существует как односторонних, так и, следовательно, общего предела функции в точке x₀;

б) пределы существуют, но равны бесконечности:

– разрыв справа; – разрыв слева;

– разрыв и справа, и слева.

Такие разрывы функции называют разрывами второго рода.

В качестве примера рассмотрим функцию

Эта функция определена для всех хR. Найдем односторонние пределы в точке х = х₀ = –2.

,

.

Отсюда следует, что в точке х₀ = –2 справа – разрыв второго рода , а слева – непрерывность .

3. Точка х₀ не принадлежит области определения функции, т.е. функция в этой точке не определена. В этом случае если х₀ есть внутренняя точка области определения функции, то функция имеет разрывы как справа, так и слева от точки х₀.

Рассмотрим две функции . Обе функции не определены в точке х₀ = 0. Следовательно, точка х₀ = 0 является точкой разрыва данных функций.

Для первой из них имеем: и . Это означает, что в точке х₀ = 0 разрыв второго рода с обеих сторон. Для второй же –

,

в точке х₀ = 0 – с обеих сторон скачки, т.е. разрывы первого рода.

8.5. Арифметические операции над непрерывными функциями

Теорема. Если две функции f (x) и g (x) определены в одном и том же промежутке Р и обе непрерывны в точке х₀, то в этой же точке будут непрерывны и функции f (x)  g (x), f (x)·g (x), , последняя при условии, что g(x)  0.

Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы (разности), произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы (гл.1, §6, п.6.3).

Остановимся для примера на частном двух функций. Предположение о непрерывности функций f (x) и g (x) в точке х₀ равносильно наличию равенств

.

Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаменателя не нуль), имеем:

,

а это равенство и означает, что функция непрерывна в точке х₀.

Следствия. 1. Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

3. Если f (x) непрерывна, то непрерывна и |f (x)|.

В качестве иллюстрации приложения данной теоремы рассмотрим непрерывность целой и дробной рациональных функций. Функция f (x) = х, очевидно, непрерывна на всем промежутке : если х_п  х₀^, то f (x_п) = х_п  х₀ = f (x₀). Точно так же непрерывна и функция, сводящаяся тождественно к постоянной.

Отсюда, на основании вышеприведенной теоремы, вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения как произведения непрерывных функций, а затем и полинома (целой рациональной функции) как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке ∞∞.

Очевидно, наконец, что и частное двух полиномов (дробно-рациональная функция):

также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. Таких точек непременно конечное число, поскольку число корней целой рациональной функции не более наивысшего показателя степени многочлена, стоящего в знаменателе. Причем, это точки разрыва второго рода.