6.3. Распространение теории пределов

Естественно встает вопрос о распространении теории пределов, развитой в предыдущем параграфе применительно к случаю последовательности на рассматриваемый здесь общий случай произвольной числовой функции одного действительного переменного.

Для этого можно было бы все теоремы о последовательностях, имеющих предел, и рассмотренные нами в §5, доказать аналогичным образом заново для функций. Однако в этом нет необходимости, так как если, говоря о пределе функции, стоять на «точке зрения последовательностей» (определением предела по Гейне), то, поскольку для последовательностей теоремы доказаны, они верны и для функций.

Следовательно, получаем утверждения:

1. Если функция имеет предел в точке х₀, то он единственный.

2. Если при стремлении х к x₀ функция f(x) имеет конечный предел , то для значений х, достаточно близких к х₀, функция f(x) будет ограниченной:

.

Переходя к другим теоремам, в которых функции связываются знаками равенства, неравенства или арифметических действий, мы, прежде всего, должны оговорить, что, соединяя две или несколько функций f(x), g(x),… (определенных в одной и той же области Р) такими знаками, мы всегда подразумеваем, что их значения отвечают одному и тому же значению х.

3. Выполняется теорема 3, а также теорема Гурьева (гл.1, §5, п.5.2). Если и , то .

4. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

5.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

6. Для того, чтобы число  было пределом функции y = f (x) при х  х₀, необходимо и достаточно, чтобы разность f (x) –  была бесконечно малой функцией, т.е. .

7. Функция, обратная бесконечно большой функции при хх₀ или х, есть функция бесконечно малая при хх₀ или х и наоборот.

8. Если существуют пределы то

9. При тех же условиях

10. Если то

11.

Таким же образом на общий случай, рассматриваемый нами теперь, автоматически переносятся и утверждения, доказанные в §5, п.5.6 и п.5.7 относительно особых случаев. Если известны пределы функций f(x) и ψ(x) (конечные или нет), то на основании этого можно судить о пределах выражений f(x)  ψ(x), f(x)ψ(x), и во всех случаях, кроме семи, условно характеризуемых символами , , , , 0⁰, В этих же случаях упомянутые выражения представляют неопределенность, для раскрытия которой уже недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и ψ(x), а нужно учесть и самый закон изменения этих функций.

Отметим, что, как и для последовательности, предел функции при ∞ также равен е, т.е.

Однако для функции можно установить более общий результат:

. (1.18)

Для этого достаточно доказать, что порознь имеют место соотношения

и .

Покажем, что если выполняется первое соотношение, то верно и второе. Для доказательства введем переменную . Поскольку при х  –∞ имеем t = +∞, тогда

Заменим теперь в выражении переменную х на если, придать z последовательность значений, стремящихся к нулю (но не равных нулю), то будет стремиться к ∞. Поэтому формулу (1.18) можно переписать в виде

. (1.19).

12. Аналог теоремы о сходимости монотонной последовательности.

Пусть функция f (x) монотонно возрастает, хотя бы в широком смысле, в области Р, имеющей точкой сгущения число х₀, большее всех значений х (оно может быть конечным или равным +∞). Если при этом функция ограничена сверху: f (x) ≤ μ (для всех х из Р), то при х → х₀ функция имеет конечный предел; в противном случае – она стремится к +∞.

Предоставляем читателю преобразовать эту теорему для случая, когда предельное значение х₀ меньше всех значений х, равно как и для случая монотонно убывающей функции.

13. Общий признак сходимости (распространение теоремы Больцано-Коши на общий случай).

Для того чтобы функция f (x) при стремлении х к х₀ вообще имела конечный (бесконечный) предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа ε > 0 существовало такое число δ_ε  > 0, чтобы неравенство выполнялось, лишь только и . (для бесконечного предела и ).