5.7. Неопределенные степенно-показательные выражения

Рассмотрим теперь степенно-показательное выражение и последовательность при условии, что  0  nN.

Если для существуют конечные пределы: и , причем   , то .

Доказательство опускаем.

Очевидно, что исключительные случаи отвечают таким комбинациям значений  и :

 = 1,  = ∞;  = 0,  = 0;  = +∞,  = 0.

В этих случаях говорят, что выражение представляет неопределенность вида 1^, 0⁰, ∞⁰ (смотря по случаю). Для решения вопроса о пределе последовательности здесь мало знать лишь пределы , а нужно непосредственно учесть закон, по которому они стремятся к своим пределам.

В качестве примера неопределенности вида 1^ приведем выражение . Последовательность , определенная этим выражением, имеет конечный предел. По примеру Эйлера, его всегда обозначают буквой е. Это иррациональное число

(1.11)

имеет исключительную важность, как для самого анализа, так и для его приложений. Вот первые семь знаков его разложения в десятичную дробь:

е = 2,718281…

Некоторые свойства числа е делают особенно выгодным выбор этого числа в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначаются знаком ln без указания основания. Десятичные логарифмы связаны с натуральными формулой:

.

Таким образом, поставив себе задачей – определить пределы последовательностей, заданных арифметическими (1.10) или степенно-показательным выражениями, по пределам последовательностей , из которых они составлены, мы нашли случаи, когда этого сделать нельзя: неопределенности вида . В этих случаях приходится, учитывая закон изменения последовательностей , непосредственно исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название раскрытие неопределенности. Общие методы для раскрытия неопределенностей будут даны позже.

5.8. Монотонные последовательности

Если члены последовательности суть значений монотонной числовой функции переменного п, то последовательность называется монотонной или, по типу монотонной функции соответственно: возрастающей, неубывающей, убывающей, невозрастающей последовательностями.

Для монотонной последовательности справедлива следующая теорема, условие которой является достаточным условием для сходимости (существования конечного предела) последовательности.

Теорема. Ограниченная монотонная последовательность всегда имеет конечный предел, т.е. является сходящейся.

Эту теорему примем без доказательства.

Если последовательность не является монотонной, то условие данной теоремы, как следует из теоремы 2 (п.5.2), является, лишь необходимым, но не достаточным.

Пример. Доказать, что последовательность имеет конечный предел, т.е. сходится.

Доказательство. Покажем, что эта последовательность ограничена. Представим ее общий член в виде

, откуда или .

Исследуем эту же последовательность на монотонность. Найдем разность

.

Таким образом, y_n+1 > y_n, т.е. последовательность монотонно возрастающая. Тогда, по теореме, она имеет конечный предел или сходится. Как было уже доказано (пример гл.1, §5, п.5.1), .