11. Запитання для самоконтролю.
1. Що називаємо однозначною гілкою багатозначної функції на шляху?
2. Що називаємо функцією на шляху?
3. Сформулюйте означення криволінійного інтеграла першого роду.
4. Сформулюйте відомі властивості криволінійного інтеграла першого роду і обґрунтуйте одну із них.
5. Сформулюйте означення криволінійного інтеграла другого роду.
6. Сформулюйте відомі властивості криволінійного інтеграла другого роду.
7. Сформулюйте і доведіть лему Гурса.
8. Сформулюйте і доведіть теорему про достатні умови рівності нулеві криволінійного інтеграла другого роду.
9. Сформулюйте і доведіть інтегральну теорему Коші.
10. Сформулюйте і доведіть узагальнену інтегральну теорему Коші.
11. Сформулюйте і доведіть інтегральні формули Коші.
12. Сформулюйте і доведіть теорему про середнє для голоморфних функцій.
13. Сформулюйте і доведіть теорему про існування похідних інтеграла типу Коші.
14.
Сформулюйте і доведіть теорему про
знаходження
-ої
похідної голоморфної функції.
15. Сформулюйте і доведіть теорему Морери.
16. Сформулюйте і доведіть теорему про усунення відрізка.
12. Вправи і задачі.
3.1. Знайдіть:
1.
. 2.
,
.
3.
. 4.
,
.
5.
. 6.
.
7.
,
,
. 8.
,
,
.
9.
,
– відрізок, який з’єднує точки
та
(початок в точці
).
10.
,
.
11.
,
якщо: a)
–
(початок в точці
);
б)
(початок в
точці
).
12.
,
.
13.
,
– дуга параболи
від точки
до точки
.
14.
,
.
15.
,
.
16.
,
.
17.
,
– дуга кривої
від точки
до точки
.
18.
,
.
19.
,
.
20.
,
– дуга параболи
,
.
21.
,
.
22.
,
.
3.2. Знайдіть інтеграли вздовж кривих:
1.
,
. 2.
,
.
3.3. Знайдіть інтеграли від голоморфних функцій:
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
3.4. Використовуючи інтегральні теореми та формули Коші, знайдіть інтеграли:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
,
якщо: а)
;
б)
;
в)
.
20.
,
.
21.
,
якщо: а)
;
б)
;
в)
.
22.
,
якщо: а)
– астроїда;
б)
.
3.5. Знайдіть інтеграли по колам, орієнтованим проти годинникової стрілки:
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
3.6.
Знайдіть
інтеграли вздовж кривої
– частини кола
,
що лежить в нижній півплощині і
пробігається від точки
до точки
:
1.
. 2.
. 3.
.
3.7.
Знайдіть інтеграли вздовж кривої
– відрізка прямої з початком в точці
і кінцем в точці
:
1.
. 2.
. 3.
.
3.8. Знайдіть:
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
,
якщо: а)
;
б)
;
в)
.
20.
,
а)
; б)
.
21.
, а)
; б)
.
22.
,
а)
; б)
.
23.
, а)
; б)
.
24.
, а)
; б)
.
25.
, а)
; б)
.
3.9. Знайдіть інтеграли вздовж кусково-гладкого замкненого жорданового шляху , який обмежує довільну область :
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
.
3.10. Доведіть такі твердження:
1.
Нехай межа області
складається із однієї гладкої кривої
.
Довести, що площу P
області
можна знайти за формулою
.
2.
Нехай
є неперервно
-диференційовним
і взаємно однозначним відображенням
області
на область
.
Тоді для кожної квадровної множини
такої, що
маємо
,
за умови, що останній інтеграл існує, де , , ,
,
причому
,
якщо функція
є голоморфною в
.
3.
Нехай функція
є голоморфною в довільній області
.
Довести, що для того щоб існувала первісна
функції
в області
,
необхідно і достатньо, щоб
для
будь-якого замкненого жорданового
спрямлюваного шляху
із
.
3.11. Доведіть, що функції f не мають первісних в областях D:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.