7. Інтегральна формула Коші.
Теорема 1. Нехай межа обмеженої області складається із скінченного числа замкнених спрямованих жорданових кривих, а функція голоморфна в і неперервна в . Тоді
, , (1)
, . (2)
Доведення. Якщо , то функція голоморфна в і неперервна в . Тому із теореми Коші отримуємо (2). Нехай і настільки мале, що . Тоді за теоремою Коші, застосованою до області , маємо
,
тобто
. (3)
Враховуючи, що
,
маємо
. (4)
Оскільки функція має похідну в точці , то функція
,
як функція , є обмеженою в . Отже, існує таке, що
, .
Тому, спрямувавши до , із рівності (4) отримуємо (2). ►
Формули (1)-(2) називаються інтегральними формулами Коші.
Зауваження 1. Інтеграл в правій частині формули (1) визначає значення функції на межі голоморфності цієї функції.
Приклад 1. За інтегральною формулою Коші
, ,
.
8. Теорема про середнє для голоморфних функцій. За означенням
,
де і .
Теорема 1. Нехай функція є голоморфною в області . Тоді для кожного і кожного виконується
, (1)
, , . (2)
Доведення. Справді, функція є голоморфною в . Тому
,
звідки випливає (1). Із (1) отримуємо, що
,
тобто (2) має місце. ►
Приклад 1. За формулою (1) .
9. Інтеграл типу Коші. Існування похідної будь-якого порядку голоморфної функції. Інтегралом типу Коші функції по шляху називається інтеграл
. (1)
Теорема 1. Якщо – спрямований шлях, функція є неперервною на , то функція , визначена формулою (1) є голоморфною в будь-якій області D, яка не містить , і має там похідні всіх порядків, які можна знайти за формулою
. (2)
Доведення. Інтеграл (1) рівномірно збігається на будь-якому компакті, який з не перетинається. Нехай . Тоді
. (3)
Для кожного знайдеться таке , що для всіх , , круг буде знаходитися на додатній відстані від . Тому можна знайти таке , що якщо , то для всіх матимемо , . Тому
.
Отже, при і тому із (3) отримуємо, що має похідну в точці, яку можна знайти за формулою (2) взявши в ній . Аналогічно, розглянувши різницю
,
переконуємось, що має другу похідну, яку можна знайти за формулою (2) при і т.д. ►
Теорема 2. Нехай функція є голоморфною в області . Тоді вона має в кожній точці похідні всіх порядків, які можна знайти за формулою
, (4)
де – довільний замкнений спрямований жордановий шлях такий, що і . Якщо крім цього, складається зі скінченного числа спрямованих замкнених жорданових кривих і функція є неперервною в , то -у похідну можна також знайти за формулою
. (5)
Доведення. Ця теорема є наслідком інтегральної формули Коші та попередньої теореми. ►
Наслідок 1. Якщо функція є голоморфною в області , то в є голоморфними також всі її похідні.
10. Теорема Морери. Таку назву має наступне твердження.
Теорема 1. Якщо функція є неперервною в області і
(1)
для будь-якого замкненого спрямованого шляху з , то має однозначну первісну в і є голоморфною функцією в .
Доведення. З умови теореми випливає, що інтеграл
, , , (2)
не залежить від шляху інтегрування в області і тому однозначна функція в області . Далі,
,
бо
.
Окрім цього (тут і далі інтеграл береться по відрізку),
.
Тому
. (3)
Оскільки є неперервною функцією, то
.
Тому з (3) отримуємо
, ,
звідки випливає, що має похідну в області і . Отже, є голоморфною в . Тому на підставі наслідку 1 попереднього пункту функція також є голоморфною в . ►
Наслідок 1. Якщо функція є неперервною в області і
(4)
для будь-якого трикутника такого, що , то є голоморфною в .
Теорема 2 (про усунення відрізка). Якщо функція є неперервною в області і голоморфною в , де – відрізок з , то є голоморфною в .
Доведення. Справді, досить показати, що є голоморфною в деякій однозв’язній області такій, що . Але за узагальненою теоремою Коші для будь-якого трикутника такого, що виконується (4). Звідси та властивостей криволінійного інтеграла випливає, що задовольняє в умови теореми Морери. Отож, є голоморфною функцією. ►