6. Узагальнення інтегральної теореми Коші.

Теорема 1. Нехай межа обмеженої однозв’язної області є замкненою жордаваною спрямованою кривою, а функція є голоморфною в і неперервною в . Тоді

. (1)

Доведення. Обмежимось доведенням у випадку, коли є кусково-гладкою і є зірковою відносно деякої точки , тобто точку можна з’єднати з кожною точкою відрізком, який лежить в . Можемо вважати, що . Нехай , , – параметризація і , . Шлях лежить в . Отже, за теоремою Коші

. (2)

Тому

.

Оскільки рівномірно неперервна в , то

.

Таким чином,

, ,

де – довжина . Звідси випливає потрібне. ►

Теорема 2. Нехай межа обмеженої області складається зі скінченного числа жорданових спрямованих кривих, а функція є голоморфною в і неперервною на . Тоді виконується (1).

Доведення. Подамо область у вигляді об’єднання скінченної кількості замкнених однозв’язних областей , які не мають спільних внутрішніх точок. Застосувавши теорему до кожної однозв’язної області і зауваживши, що сума інтегралів по спільних частинах меж областей (див. рис. 1) дорівнює нулеві, приходимо до потрібного висновку. ►

Теорема 3 (про складові контури). Нехай межа області складається із скінченного числа жорданових спрямованих замкнених кривих і , ,..., – замкнені спрямовані жорданові криві, які лежать

в , а область з межею . Тоді, якщо орієнтації , ,..., є протилежними до їх орієнтації як компонент , а функція голоморфна в і неперервна в , то

.

Доведення. Справді, за попередньою теоремою, застосованою до G маємо

,

звідки випливає потрібне. ►

Два замкнені шляхи і називаються гомотопними в області , якщо вони є неперервними і їх можна неперервно деформувати один в одного не виходячи із області . Два незамкнені шляхи і називаються гомотопними в області , якщо їх можна неперервно деформувати один в одного не рухаючи їх початків і кінців та не виходячи за межі області , тобто якщо існує неперервна в прямокутнику функція така, що: а) і при всіх ; б) і при всіх (у випадку замкнених шляхів умову б) потрібно замінити умовою: б) при всіх ). Замкнений шлях називається гомотопним нулеві в області , якщо він є гомотопним кожному колу, яке лежить в деякому крузі . Якщо незамкнені шляхи і є гомотопними в області , то існує однозв’язна область така, що . Якщо замкнений шлях є гомотопним в нулеві, то існує однозв’язна область така, що . Якщо замкнені шляхи і є гомотопними в області , то існує однозв’язна або двозв’язна область така, що . Якщо область є однозв’язною, то кожні два неперервні шляхи  і  із D, які мають спільні початки і спільні кінці є гомотопними в D і кожний замкнений неперервний шлях, який лежить в , є гомотопним в нулеві. У випадку круга гомотопію шляхів і здійснює функція . Загальний випадок зводиться до круга шляхом покриття скінченною кількістю кругів. Враховуючи сказане вище, із теореми Коші отримуємо наступне твердження.

Теорема 4. Інтеграли голоморфної в області функції по спрямованим і гомотопним в шляхам є рівними. Інтеграл голоморфної в області функції по спрямованому і гомотопному в шляху дорівнює нулеві.

Зауваження 1. В двозв’язній області кожний замкнений неперервний шлях є гомотопним нулеві або деякому колу , , де , , , яке обходиться раз в додатному напрямку, якщо і у від’ємному, якщо . Кожний незамкнений шлях в з початком в точці і кінцем в точці є гомотопним об’єднанню деякого кола і деякого неперервного шляху з початком в точці ⁾ і кінцем в точці , який лежить в деякій однозв’язній області, яка не містить точки .

Приклад 1. . Справді, функція є голоморфною в області і неперервною в її замиканні. Тому за теоремою 1

.

Але

.

Звідси отримуємо потрібний висновок.