9. Запитання для самоконтролю.
1. Що називаємо залишком функції в точці ?
2. Що називаємо залишком функції в ?
3. Як знаходяться залишок функції через лоранівські коефіцієнти?
4. Як знаходяться залишок функції в простому полюсі?
5. Як знаходяться залишок функції в полюсі заданної кратності?
6. Сформулюйте і доведіть основну теорему про залишки.
7. Сформулюйте і доведіть лему Жордана.
8. Обґрунтуйте відомі вам методи обчислення інтегралів тригономе-тричних функцій за допомогою залишків.
9. Обґрунтуйте відомі вам методи обчислення невласних інтегралів за допомогою залишків.
10.Що називаємо перетворенням Лапласа?
11.Сформулюйте і обґрунтуйте відомі вам властивості перетворення Лапласа.
10. Вправи і задачі до п’ятого розділу.
5.1. Обчисліть
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
5.2. Доведіть твердження:
1. Якщо є усувною ізольованою особливою точкою функції f, то
.
2.
Якщо
,
де функція
є голоморфною
в точці z0.
Тоді
.
3. Якщо функція f в точці z0 має нуль п-го порядку, а функція є голоморфною в цій точці, то
.
4.
Якщо функція
f має
вигляд
,
де функція
є голоморфною в точці
,
то
.
5. Для кожної парної функції f виконується
,
якщо написані лишки мають зміст.
6. Для парної функції f має місце
,
якщо написані лишки мають зміст.
5.3. Знайдіть лишки функції f в усіх скінченних особливих точках
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
5.4. Знайдіть лишки функції f в
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
5.5. Знайдіть лишки в усіх ізольованих особливих точках функції f
1.
.
2.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37.
.
38.
.
39.
.
40.
.
41.
. 42.
.
5.6. Знайдіть
,
якщо:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
5.7. Знайдіть
,
якщо:
1.
.
2.
.
5.8. Знайдіть
,
якщо:
1.
.
2.
.
3.
.
5.9. Знайдіть
,
якщо:
1.
.
2.
.
3.
.
5.10. Знайдіть інтеграли
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
5.11. Знайдіть інтеграли
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
трикутник
з вершинами в точках 3i,3,-3i.
5.12. Використовуючи лишок в , знайдіть інтеграли
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
5.13. Знайдіть інтеграли
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
5.13. Знайдіть інтеграли
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
31.
.
32.
5.14. Знайдіть інтеграли
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
,
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
,
.
22.
5.15. Доведіть наступні твердження:
1.
Нехай
,
–
скінчена множина точок із
,
які не лежать на
,
функція
є голоморфною області
і
,
коли
.
Тоді
,
де
,
,
.
2.
Нехай
,
–
скінчeна
множина точок з
,
які
не лежать на
,
–
скінчена множина
точок, які лежать на
,
функція
є голоморфною області
і
,
коли
.
Тоді
,
де
,
,
.
3.
Нехай
–
деяка
область,
– деяка
скінчена або зліченна множина точок із
,
яка
не має в
граничних
точок,
–послідовність
областей таких, що
,
,
функція
є
голоморфною в
і
.
(1)
Тоді
.
4.
Нехай
– скінчена
множина комплексних чисел, які не є
цілими,
–
функція,
голоморфна в
,
для
якої
.
(2)
Тоді
.
5.
Нехай
– раціональна
функція, всі полюси
якої
не є цілими числами, і
.
Тоді
.
6. Нехай – скінчена множина комплексних чисел, які не є цілими, –функція, голоморфна в , для якої
.
Тоді
.
7.
Нехай
– раціональна
функція, всі полюси
якої
не є цілими числами, і
.
Тоді
.
8.
Нехай
– раціональна
функція, яка має полюс тільки в точці
,
і
.
Тоді
,
.
9.
Нехай
функція
є
голоморфною в півплощині
,
неперервною
і
для деякого
виконується
.
Тоді
для кожного
виконується
5.16. Обґрунтуйте формули
1.
,
.
2.
,
.
3.
.
4.
.
5.17. Обґрунтуйте формули
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
5.18. Розв’яжіть задачу Коші
1.
,
,
.
2.
,
,
.
3.
,
,
.
4.
,
,
.
5.
,
,
.
6.
,
,
.