7.4 Метод в. Г. Лобачова

Розглянемо одне кільце водопровідної мережі (рис.7.1), яке жи­виться водою через вузол 1, а потоки води збігаються у вузлі 3. На всіх ділянках кільця відомі діаметри й витрати води після попереднього потокорозподілу. В результаті можна обчислити втрати напору на кожній із ділянок і скласти рівняння другого закона Ньютона:

h₁₂+h₂₃-h₃₄-h₁₄≠0=Δh (7.6)

або

s₁₂q²₁₂+s₂₃q²₂₃-s₃₄q²₃₄-s₁₄q²₁₄ ≠0= Δh, (7.7)

де h₁₂, h₂₃, h₃₄, h₁₄ – втрати напору на ділянках; s₁₂, s₂₃, s₃₄, s₁₄ – опори ділянок; q₁₂, q₂₃, q₃₄, q₁₄ – витрати води на ділянках; Δh – так звана нев’язка втрат напору в кільці.

Додатними вважаються втра­ти напору на ділянках, де вода рухається за годинниковою стрілкою, і, навпаки, від’ємними втрати на­пору на ділянках, де вода ру­хається проти годинникової стрілки. Крім того, алгеб­раїчна сума втрат напору в кільці не дорівнюватиме нулю після попереднього потокороз­поділу, а буде дорівнювати якійсь нев’язці Δh.

Нехай ця нев’язка буде додатною, тобто зі знаком "плюс". Це означає, що ви­трати води на ділянках 1-2 і 2-3 перевищують ті витрати води, які мають бути на цих ділянках при Δh=0; тобто ділянки 1-2 і 2-3 перевантажені, а ділянки 3-4 і 1-4 – недовантажені водою. Гідравлічно врівноважимо кільце, провівши поправкову витрату води Δq так, щоб на переван­тажених ділянках зменшити, а на недовантажених, навпаки, збільшити витрати води. Щоб виконати цю умову, необхідно поправкову витрату во­ди направити проти годинникової стрілки, тобто в напрямі, протилеж­ному нев’язці Δh. Це показано пунктиром на рисунку 7.1. Отже, після проведення поправкової витрати води рівняння 2-го закону Кірхгофа за­пишемо так:

s₁₂(q₁₂- Δq)²+s₂₃(q₂₃- Δq)²-s₃₄(q₃₄- Δq)²-s₁₄(q₁₄+ Δq)²=0. (7.8)

Таким чином, після внесення поправкової витрати води Δq нев’язка в кільці стала такою, що дорівнює нулю. Розкриємо дужки і пе­регрупуємо подібні члени. Отримаємо

(s₁₂q²₁₂ +s₂₃q²₂₃-s₃₄q²₃₄-s₁₄q²₁₄)-

-2Δq(s₁₂q₁₂+s₂₃q₂₃+s₃₄q₃₄+s₁₄q₁₄)+ Δq²(s₁₂+s₂₃+s₃₄+s₁₄)=0. (7.9)

Рисунок 7.1 – Схема кільця мережі для пояснення формули Лобачова

Рисунок 7.2 – Схема об’єднання кілець у контури за методом Андріяшева

Перший член рівняння являє собою алгебраїчну суму втрат напору в кільці, тобто нев’язку втрат напору кільця Δh. Другий член є подвоєним добутком поправкової витрати на суму добутків опорів діля­нок і попередніх витрат води на них. Цей член рівняння можна позна­чити 2ΔqΣsq. Третій член рівняння є добутком квадрата по­правкової витрати води на алгебраїчну суму опорів відрізків. Оскільки Δq² та опори ділянок значно менші, ніж витрати води ділянок, тре­тім членом рівняння можна знехтувати. В цьому разі рівняння перетво­рюється у лінійне рівняння відносно Δq і його можна записати у вигляді

Δh - 2ΔqΣsq≈0, (7.10)

звідки поправкова витрата води

Δq≈Δh/(2Σsq). (7.11)

У разі перевантаження ділянок із рухом води за годинниковою стрілкою, якщо Δh>0, то Δq потрібно взяти в протилежному напрямі. Навпаки, при перевантаженні ділянок із рухом води проти годинникової стрілки напрям Δq потрібно взяти за годинниковою стрілкою, тобто знак поправкової витрати Δq буде протилежним знаку нев’язки Δh. Тому в загальному вигляді поправкова витрата води

Δq≈ (±Δh)/(2Σsq). (7.12)

Розрахунок багатокільцевої мережі ускладнюється тим, що між суміжними кільцями з’являються спільні ділянки. Тоді на спільних для суміжних кілець ділянках поправкова витрата води знаходиться як алгебраїчна сума поправкових витрат суміжних кілець мережі. Для розрахунку багатокільцевої мережі необхідно скласти стільки рівнянь, скільки в мережі кілець. Рівняння для кожного кільця складають за формулою

Δq_nΣ(sq)_n-Δq_mΣ(sq)_m-Δq₁Σ(sq)₁=Δh_п/2, (7.13)

де Δq_n, Δq_m – поправкова витрата відповідно n-го кільця і m-го кільця, суміжного з n-м; Σ(sq)_n – сума добутків опорів ділянок на попередні витрати для n-го кільця; s_m, q_m – опір і витрата ділянки m-го кільця, спільної з n -м суміжним кільцем; Δq₁ – поправкова витрата 1-го кільця, суміжного з n-м; s₁, q₁ – опір та витрата ділянки 1-го кільця, спільної з n-м суміжним кільцем; Δh_п – нев'язка в n-му кільці.

Число від'ємних членів у цій формулі дорівнює числу ділянок кільця, спільних з іншими суміжними кільцями. Але розв'язування цих рівнянь є трудомістким. В.Г.Лобачов запропонував користуватись

спрощеним методом, коли всі кільця мережі вважають незалежними і поправкові витрати води для кілець знаходять як для незалежно працюючих, тобто умовно вважають, що суміжність кілець відсутня й поправкові витрати знаходять одночасно для всіх кілець як для незалежно працю­ючих. Таким чином, ув’язка йде паралельно для всіх кілець, а Δq обчислюють за простою формулою для одного кільця.

Хоча такий підхід і зменшує трудомісткість ув’язки, але за рахунок зменшення точності задача розв'язується послідовними наближеннями (виправленнями), що все ж потребує значного часу.

Професор В.Г.Лобачов запропонував цей метод у 1934 р., а 1936 р. американець професор будівельної механіки Харді Кросс цілком незалежно запропонував такий самий метод для гідравлічного розрахунку мереж будь-якого призначення [5]. Як пише М.М.Абрамов [6], обсяг статті Х. Кросса всього близько 1-го друкованого аркуша, тоді як про цю роботу написано не одну сотню друкованих аркушів іншими авто­рами. Професор В. Г. Лобачов у своїй книзі [7], на відміну від профе­сора Х. Кросса, навів систему лінійних рівнянь для знаходження попра­вкових витрат води в мережі з кількома кільцями, тобто він математич­но обґрунтував метод гідравлічної ув’язки, хоча в практиці обидва методи повністю збігаються. Тому американці називають цей метод методом Кросса, у вітчизняній практиці його називають методом Лобачова, а ін­коли, щоб підкреслити ідентичність методів, – методом Лобачова–Кросса. Метод Лобачова відрізняється тільки формою записів – усі за­писи ведуться в табличній формі. Для методу Лобачова – Кросса харак­терне те, що всі кільця мережі обчислюються паралельно. При цьому поправкові витрати води, отримані при попередньому потокорозподілі, вносяться до всіх кілець одночасно для проведення розрахунків 1-го і наступних турів. Оскільки при виведенні формули поправкової витрати води зроблено ряд припущень, ув’язка за методом Лобачова йде по­вільно (інколи процес може навіть розбігатися). Але його перевага в тому, що він побудований за чітким алгоритмом. Тому цей метод набув широкого практичного використання, особливо із застосуванням ЕОМ різ­ного типу. Він покладений в основу більшості алгоритмів для складан­ня програм розрахунку водопровідних мереж на ЕОМ. Із плином часу з’явилось багато модифікацій цього методу і деякі з них запроваджені в практику. Так, ряд

авторів пропонує вносити поправки не в усі кільця одночасно, а в кільце з найбільшою нев’язкою. В цьому ра­зі процес ув’язки кільцевої мережі збігається завжди, що важливо для економії машинного часу.