Потенциальная энергия деформации при кручении

Д ля определения потенциальной энергии деформации, накопленной брусом при кручении, найдём совершаемую моментом М_x работу при закручивании участка вала на угол . Так как до определённых значений момента существует прямо-пропорциональная зависимость между М_x и углом закрутки , то работа момента на угловом перемещении будет численно равна площади заштрихованного треугольника (рис. 27):

.

Рис. 27.

Подставляя значение угла закрутки из формулы (4.17), получим:

.

(4.9)

Лекция 5 Изгиб

Плоским изгибом называется такое деформированное состояние, когда нагрузки действуют в плоскости, перпендикулярной продольной оси балки.

Балкой называется горизонтальный брус, закреплённый на опорах и испытывающий деформацию изгиба. При данном действии ось балки искривляется, балка изгибается. На балку, в общем случае, действуют приложенные силы и реакции опор. Для решения задачи сопротивления материалов необходимо знать и те и другие. Если из 6 внутренних силовых факторов М_y0 или М_z0, а остальные равны нулю, то такой изгиб называется чистым. Если в поперечных сечениях балки совместно действуют внутренний изгибающий момент и внутренняя поперечная сила, например, М_y0 и Q_z0 или М_y0 и Q_z0, то такой изгиб называется поперечным.

Рис. 28.

Определение внутренних поперечных сил и изгибающих моментов построение эпюр

Разобьём балку АВ (рис. 29) на участки согласно правилам, приведённым во второй лекции. Длины участков обозначим буквами a, b, c, d.

Определим реакции связей из уравнений статики.

Составим уравнение суммы моментов всех сил относительно точки а.

.

,

Откуда:

.

Составим уравнение суммы моментов всех сил относительно точки В.

,

Откуда:

.

Правильность определения реакций R_A и R_B можно проверить, составив уравнение суммы проекций всех сил на ось y.

Д ля определения напряжений, возникающих в различных сечениях балки, необходимо найти величину и направление внутренних усилий, выразив их через внешние силы. Для этого удобно воспользоваться скользящей системой отсчёта, которая каждый раз жестко связывается с началом рассматриваемого участка. При переходе к следующему участку, система отсчета связывается с его началом, а пройденные участки учитываются как постоянные величины.

Рассмотрим произвольное сечение на первом участке и запишем для него в общем виде уравнения для внутренней поперечной силы Q_y и внутреннего изгибающего момента M_z.

Сила Q складывается из элементарных касательных усилий, действующих в сечении, и равна сумме всех внешних поперечных сил, приложенных по одну сторону от данного сечения.

Правило знака для внутренней поперечной силы Q. Сила Q – считается положительной, если внешняя сила стремится повернуть отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, а отрицательной – если против хода часовой стрелки (рис. 30а).

внутренний изгибающий момент в любом сечении складывается из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки. Изгибающий момент поворачивает это сечение относительно смежного, чем и обусловлено искривление оси балки. Изгибающий момент в произвольном сечении равен сумме моментов, расположенных по одну сторону от сечения.

Правило знака для внутреннего изгибающего момента. Внутренний изгибающий момент считается положительным, если внешний момент стремится сделать ось балки вогнутой, и внутренний изгибающий момент считается отрицательным, если внешний момент стремится сделать ось балки выпуклой (рис. 30 б).

Рис. 30.