Понятие о сложном напряжённом состоянии

В предыдущих лекциях рассматривалось поведение материала при простом напряжённом состоянии. На практике часто возникают случаи, когда под действием внешних сил элемент материала подвергается растяжению или сжатию по двум или трём направлениям, то есть находится в условиях сложного напряжённого состояния.

И звестно, что при простом растяжении возможны напряжения двух видов – нормальные  и касательные . По сечениям, перпендикулярным к оси растянутого стержня (=0), возникает только нормальное напряжение , а =0 по сечениям, параллельным его оси(=90), нет ни нормальных, ни касательных напряжений (=0; =0).

Площадки, по которым =0, называются главными, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями.

В каждой точке любого напряжённого тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные площадки, через которые передаются три главных напряжения; из них два имеют экстремальное значения; одно является наибольшим, другое наименьшим, а третье - промежуточное. Тогда в каждой точке напряжённого тела можно выделить элементарный кубик, гранями которого являются главные площадки. Главные напряжения обозначают ₁, ₂, ₃, таким образом, чтобы ₁ обозначало наибольшее по алгебраической величине, а ₃-наименьшее напряжение, тогда будет выполняться условие ₁>₂>₃.

Таким образом, можно выделить три вида напряжённого состояния:

1. линейное напряжённое состояние – когда два главных напряжения равны нулю;

2. плоское напряжённое состояние – когда одно главное напряжение равно нулю;

3. объёмное напряжённое состояние – все три главных напряжения не равны нулю.

Плоское напряжённое состояние

В качестве примера плоского напряжённого состояния рассмотрим напряжения, которым подвергается материал цилиндрической части тонкостенного резервуара, внутри которого находится вещество под давлением q.

Боковые стенки и днища подвергаются равномерно распределённому давлению q. Давление на днище будет стремиться разорвать цилиндрическую часть по поперечному сечению. давление на боковые стенки вызовет в них стремление разорваться по образующим цилиндра. Таким образом, выделенный из цилиндрического резервуара прямоугольный элемент ABCD находится в плоском напряжённом состоянии и будет подвергаться растяжению по двум направлениям: напряжениями ' по сечениям, перпендикулярным образующим, и напряжениями " по сечениям вдоль образующих (рис. 38).

Для вычислений напряжений  и  воспользуемся методом мысленных сечений. Обозначим внутренний диаметр резервуара D, а толщину стенок t, при этом толщина стенок t должна быть мала по сравнению с диаметром D (t<D/20).

Рис. 38.

Рассечем резервуар в сечении Г-Г на две части и рассмотрим равновесие одной из частей. Давление на днище заменим растягивающей сосредоточенной силой F.

.

Площадь кольцевого сечения, воспринимающая эту силу .

Тогда нормальные напряжения в этом сечении:

Напряжение " возникает по площадкам, параллельным образующим цилиндра, найдем, выделив на некотором удалении от днищ часть резервуара двумя поперечными сечениями Г-Г и Г'-Г'c расстоянием a между ними (рис. 39).

Заменим давление q равнодействующей силой F₁, которая равна . Площадь сечения, воспринимающего эту силу: , тогда напряжения в стенках:

.

Очевидно, что "=2'.

Так как и в кольцевом, и в диаметральном сечениях касательные напряжения отсутствуют, то S_к и S₁ – это главные площадки, а ^" и '- главные напряжения. Третье главное напряжение, действующее на стенку резервуара в радиальном направлении '''= -q, пренебрежимо мало по сравнению с величинами ^" и ^', поэтому его можно считать равным нулю. В соответствии с принятой нумерацией главных напряжений обозначим:

; ; .