М Рис. 4. Етод мысленных сечений (ммс)

При действии на тело внешних сил в нём появляются внутренние силы взаимодействия между отдельными частями нагруженного тела. Целостность твёрдого тела в недеформированном состоянии объясняется наличием сил сцепления между его отдельными частицами. При действии на тело внешних сил оно деформируется, расстояние между молекулами тела изменяются и изменяется межмолекулярное воздействие. При возрастании внешних сил возрастают и внутренние, но лишь до определённого предела, выше которого наступает разрушение тела.

Прочность тела определяется величинами внутренних сил, значения которых, в свою очередь, зависят от действующих на тело внешних сил. Таким образом, для расчёта тела на прочность необходимо определить внутренние силы через действующие внешние силы. Для этого используется метод мысленных сечений. Он заключается в следующем:

1. Мысленно разрезаем тело плоскостью (рис. 4а).

2. Отбрасываем одну часть тела, а оставшуюся часть закрепляем. Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием. Внутреннее усилие рассматриваем как распределённую нагрузку (рис. 4б).

3. Заменяем действие распределённой нагрузки главным вектором R_вн и главным моментом M_вн (рис. 4в).

4. Определим проекции главного вектора и главного момента на оси декартовой системы координат, связанной с центром тяжести сечения О.

N – нормальное внутреннее усилие;

Q_y и Q_z - внутренние поперечные силы;

М_х - внутренний крутящий момент;

М_y, М_z - внутренние изгибающие моменты относительно соответствующих осей.

С каждым из внутренних силовых факторов связан определённый вид деформации. Если в сечении возникает только один внутренний силовой фактор, то тело находится в простом напряженном состоянии. Если в сечении возникает только внутреннее нормальное усилие N, то тело испытывает деформацию растяжения или сжатия. Если в сечении не равен нулю только внутренний крутящий момент M_x, то тело испытывает кручение. Если в сечении возникает только внутренний изгибающий момент, то деформация называется чистым изгибом.

Если в сечении одновременно возникают два и более внутренних силовых факторов, то тело находится в сложном напряженном состоянии.

Мерой интенсивности распределения внутренних силовых факторов служит напряжение. Возьмём элементарную площадку dS в сечении. В виду малости элементарной площадки внутренние усилия распространяются равномерно по величине и направлению. dM = 0. Обозначим:

- нормальное напряжение;

, - касательные напряжения.

р = - полное напряжение.

Напряжением называется внутреннее усилие относящееся к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения. Единицей измерения напряжения является Па (Паскаль), но для практических целей эта единица не очень удобна и поэтому применяют кратную ей единицу МПа.

Лекция 2

Растяжение (сжатие)

Растяжением или сжатием называется такое внутреннее напряженное состояние, при котором из всех внутренних силовых факторов только N  0.

Рассмотрим (призматический, цилиндрический) стержень длиной l и поперечным сечением S (рис. 6), на который действует растягивающая сила F. Под действием внешней силы F, стержень изменит свою длину l, удлинится на величину l. Из эмпирических данных известно, что пока нагрузка на образец не достигла известного предела, удлинение прямо пропорционально растягивающей силе F и длине образца l, и обратно пропорционально площади поперечного сечения S, т.е.:

,

(2.1)

где l – абсолютное удлинение, Е – коэффициент пропорциональности, различный для различных материалов.

Рис. 6.

Форма записанного нами выражения носит название закона Гука, по имени учёного, впервые открывшего этот закон пропорциональности в 1660 г. Эту зависимость можно представить в виде:

.

Обозначим ;  - отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине - называется относительным удлинением. Из предыдущей лекции нам известно, что: .

В нашем случае N=F, т.е. тогда можно записать:

(2.2)

Таким образом, нормальное напряжение при растяжении или сжатии пропорционально относительному удлинению или укорачиванию стержня. Коэффициент пропорциональности Е называют модулем упругости первого рода. Из выражения видно, что чем больше эта величина, тем менее деформируется стержень, т.е. физический смысл Е – сопротивляемость материала упругой деформации при растяжении (сжатии). Из первоначальной формулы видно, что чем больше величина ЕS, тем менее податлив стержень, что говорит о том, что стержень более жёсткий, а величина ЕS называется жёсткостью стержня при растяжении или сжатии, и зависит от физико-механических свойств материала (Е) и от размеров поперечного сечения стержня (S).

Жесткостью называется способность тела сопротивляться изменению размеров и формы под действием внешних сил.

Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают помимо продольных деформаций и поперечные. Как видно из рассмотренного нами стержня длина его увеличивается на величину l, ширина же уменьшается на величину b=b-b₁, относительная продольная деформация равна  ; относительная поперечная деформация ₁ . Абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации ₁ к относительной продольной называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициент Пуассона):

.

(2.3)

коэффициент поперечной деформации,  как и модуль упругости Е является характеристикой упругих свойств материала. Для полного представления о механических свойствах материала при его растяжении и сжатии до разрушения необходимо изучение явлений, которые происходят при этом процессе. С точки зрения различия в механических качествах при простом растяжении и сжатии и при обычной температуре материалы делятся на хрупкие и пластичные. Хрупкие материалы разрушаются при очень малых остаточных деформациях. Результаты испытаний образцов нагляднее всего можно представить в виде диаграммы растяжения. Рассмотрим поведение пластичного материала при растяжении вплоть до разрушения. опыт, обычно, проводится на образце круглого поперечного сечения. На рабочей поверхности образца наносятся деления, чтобы после опыта иметь возможность судить об изменении длины образца. Образец закрепляют в разрывной машине. Стержень растягивают нагрузкой, которая увеличивается постепенно, без толчков и ударов. Самописец машины автоматически вычерчивает эту диаграмму при растяжении образца. По оси ординат диаграммы в определённом масштабе откладываются напряжения , а по оси абсцисс – относительные удлинения .

Первый участок диаграммы до точки А, соответствующей пределу пропорциональности, представляет собой прямую линию. На этом участке материал образца подчиняется закону Гука.

Напряжение, соответствующее концу прямолинейного участка, называется пределом пропорциональности _пц.

Точка В лежит выше, но очень близко к т. А и нагрузка, соответствующая ей, называется пределом упругости _у. Пределом упругости называется напряжение, превышение которого вызывает незначительные (до 0,03%) остаточные деформации. Точки А и В находятся настолько близко друг к другу, что часто предел упругости и предел пропорциональности считают совпадающими (_пц_у). При дальнейшем увеличении растягивающей силы деформация начинает расти быстрее нагрузки – диаграмма имеет криволинейный вид с выпуклостью вверх.

Если приостановить нагрузку образца при напряжении меньшем напряжения, соответствующего точке А, то при снятии нагрузки удлинение образца полностью исчезнет, то есть на участке ОА деформация является упругой. Из диаграммы видно, что модуль упругости Е графически изображается тангенсом угла наклона к оси абсцисс отрезка ОА:

.

Далее наблюдается резкое изменение в поведении материала. для увеличения деформации почти не требуется увеличивать растягивающую силу, материал "течёт". На диаграмме образуется почти горизонтальная площадка.

Напряжение, при котором происходит такое течение материала называют пределом текучести _т.

После образования площадки текучести материал вновь начинает сопротивляться дальнейшему растяжению. Точка D соответствует наибольшей величине нагрузки. При этом поведение материала образца ещё раз меняется, если до точки в удлинении участвовал весь стержень, то с момента, когда н агрузка достигает величины D, деформация в основном сосредотачивается в одном месте образца - “шейке”, где и происходит разрыв.

Напряжение, вызванное наибольшей нагрузкой, носит название предела прочности или временного сопротивления _в.

Если снять нагрузку с образца при напряжении, соответствующем некоторой точке K, то образец не вернётся к первоначальным размерам. Отрезок ОМ соответствует полной относительной деформации образца под нагрузкой. Проведем из точки K отрезок KL параллельный отрезку АВ, тогда отрезок ML представляет собой относительное упругое удлинение (_упр), а отрезок LO - относительное остаточное удлинение.

Длина отрезка ОN=l₀ представляет собой величину остающихся удлинений образца после разрыва. Отношение удлинения l₀ к первоначальной длине участка принимается за меру пластичности материала, то есть его способности испытывать большие деформации при разрушении. Величина этого отношения , выраженная в процентах, называется остаточным относительным удлинением образца:

.

(2.4)

Другой характеристикой пластичности материала является остаточное относительное сужение:

,

(2.5)

где S₀ - первоначальная площадь поперечного сечения образца, S₁ - площадь поперечного сечения образца в месте разрыва.

Ч ем больше величина относительного сужения, тем пластичнее материал.

Некоторые материалы не имеют площадки текучести. Прямая часть диаграммы переходит непосредственно в криволинейную. Для таких материалов за величину предела текучести условно принято считать напряжение, при котором остаточное относительное удлинение образца достигнет такой же величины, как при наличии ясно выраженной площадки текучести. Обычно за величину остаточного относительного удлинения принимают 0,2%.

Хрупкие материалы характеризуются тем, что разрушение происходит уже при небольших деформациях. Они плохо сопротивляются растяжению, их предел прочности на разрыв значительно меньше, чем предел прочности пластичных материалов.

На диаграмме растяжения хрупкого материала (рис. 8) не наблюдается строгой линейной пропорциональности между растягивающей силой и соответствующей деформацией. Таким образом, модуль упругости первого рода Е, равный тангенсу угла наклона относительно оси абсцисс касательной к диаграмме напряжений не является постоянной величиной; он меняется в зависимости от величины напряжения. Однако в пределах тех напряжений, при которых материал обычно работает отклонения от закона Гука незначительны и в практических расчётах заменяют криволинейную часть диаграммы соответствующей хордой и считают модуль упругости Е постоянным.