При сложном напряженном состоянии:

.

При простом растяжении ₃=0 а, , то есть , тогда

,

и ли

.

(7.5)

Достоинство теории наибольших касательных напряжений заключается в простоте и линейности условия прочности. Она даёт хорошее совпадение с опытами над пластичными материалами. Однако эта теория совершенно не учитывает влияние на работу материала среднего напряжения.

Энергетическая теория прочности (четвёртая теория)

Это теория базируется на том предположении, что опасное состояние материала зависит не от величины деформации или напряжений в отдельности, а от совокупности тех и других – от величины потенциальной энергии или от численно ей равной удельной работы деформации.

В качестве критерия прочности принимают не всю потенциальную энергию деформации, а только ту её часть, которая идёт на изменение формы тела, то есть опасное состояние материала независимо от вида напряженного состояния будет иметь место, если потенциальная энергия формоизменения u_ф в единице объёма достигнет некоторого предельного для данного материала значения. при линейном потенциальная энергия формоизменения u_ф вычисляется по формуле: , а при сложном напряженном состоянии . тогда условие прочности будет иметь вид:

.

(7.6)

Эта теория хорошо подтверждается опытами над пластичными материалами, она учитывает все три главных напряжения, но она является нелинейной.

Теория Мора

Мор предположил, что любое напряженное состояние может быть наглядно представлено в виде кругов (Мора). Круги напряжений, построенные на значениях главных напряжений, отвечающих опасному состоянию материала, называют предельными кругами напряжений. Мор предположил, что все предельные круги напряжений, проводимые из любых центров, вписываются в некоторую плавную кривую - огибающую семейства предельных кругов. Огибающая пересекает ось абсцисс в некоторой точке Н, соответствующей всестороннему равномерному растяжению. С противоположной стороны огибающая не будет замкнута, так как разрушение материала при всестороннем равномерном сжатии невозможно. Упрощенно, в первом приближении, огибающую можно представить в виде прямой линии, касательную к предельным кругам растяжения и сжатия. Если пределы прочности при растяжении и сжатии окажутся одинаковыми, то ветви огибающей на большом протяжении будут параллельны оси абсцисс. В этом случае теория Мора совпадает с теорией наибольших касательных напряжений.

Уменьшая диаметры кругов в K раз, где K - коэффициент запаса прочности, получаем семейство кругов, изображающих уже не предельные, а допускаемые напряженные состояния (рис. 41). На этом рисунке диаметр первого круга ОА представляет собой допускаемое напряжение при простом растяжении [_р], а диаметр второго круга ОВ представляет собой допускаемое напряжение при простом сжатии [_с]. Промежуточный круг характеризует некоторое напряженное состояние с главными напряжениями ₁ и ₃.

Из подобия треугольников следует, что .

Тогда заменяя отрезки соответствующими напряжениями, после некоторых преобразований получим условие прочности по теории Мора:

,

(7.7)

где .

Теория Мора, в определённом смысле, является обобщением первых трёх теорий прочности. Она хорошо описывает явление пластического деформирования и разрушения путём среза материалов, имеющих различное сопротивление растяжению и сжатию, в ней, так же как и в третьей теории не учитывается промежуточное главное напряжение.

П одводя итог, можно написать условие прочности при объёмном напряженном состоянии в виде:

,

где _расч – расчетное ( приведённое или эквивалентное ) напряжение [] – допускаемое напряжение при простом растяжении или сжатии.

По различным теориям прочности имеем следующие выражения:

,

,

,

,

.