1. Метод ламаної Ейлера

Дано: y'( x )= f( x, у(x))

x  [ а, b ] (8)

x₀ = а, у( а )= S

Знайти: таблицю наближених значень y₁, y₂...y_m рішення рівняння (1) в точках сітки :

___

x_i = x₀ + i_h, i = 1,m

Рис. 20

y'( а )= tg ₀ = ( а, S ) (рис 20)

y₁ = S + h tg ₀ ;

y₁'= tg ₁ = ( x₁, y₁ ) ;

y₂'= y₁ + h tg ₁ і т.д.

y_i = tg _i

y_i+1 = y_i + h (x_i,y_i)

т.ч. в методі Ейлера величини y_i = у(x_i) обчислюються по формулі

y_i+1 = y_i + h ( x_i, y_i )

за умови, що

y₀ = у( x₀ ) а = x₀ < x₁ < ... < x_m = b

Цю формулу можна одержати з наступних міркувань.

Розкладемо y_i+1 = у(x_i + h) в ряд Тейлора в околиці точки x_i:

y_i+1 = у( x_i + h )= у( x_i )+ h y' ₍ x_i ) + h² y''( x_i )+ ...

але

y'( x_i )= ( x_i, у( x_i))

тому

y_i+1 = у( x_i )+ h ( x_i, у( x_i )) + h² '( x_i, у( x_i ))+...

Цей метод допускає просту геометричну інтерпретацію.

Погрішність даного методу рівна (h²) - це місце першого порядку. Основний недолік методу - накопичення помилок. Блок-схема представлена на рис. 21 .

Основні позначення:

М - число крапок сітки, N - порядок системи, X - початкове значення (x₀), У - масив з N чисел, що містить початкові значення, Р - ім'я зовнішньої підпрограми, що обчислює значення правих частин рівнянь по заданих X і У, F - робочий масив розмірністю N, що містить значення правих частин рівнянь, А, В - межі інтервалу визначення X .

Приклад: На відрізку [0, 0.03] скласти таблицю значень наближеного рішення диференціального рівняння

y'' = 3y' - 2y + 2x - 3 (9)

задовольняючого початковим умовам

у(0)= 1 y'(0)= 2

вибравши крок інтеграції h=0.05.

Приведемо рівняння (9) до системи вигляду (7) таким чином. Позначимо у через y₁ і y' через y₂. Тоді одержимо систему

у₁' = y₂

y₂' = 3y₂ - 2y₁ + 2x-3

з початковими умовами y₁(0)= 1, y₂(0)= 2 .

Таким чином, F(1)= У(2); F(2)= 3*Y(2) - 2*Y(1)+ 2*X – 3

Рис.21

2 Метод Рунге-Кутта

Одним з найбільш поширених методів чисельного вирішення диференціальних рівнянь (систем рівнянь) є метод четвертого порядку, званий "метод Рунге-Кутта".

В цьому методі величину y_i+1 обчислюють по формулі

y_i+1 = y_i + h F( x_i, y_i, h )

де

F( x_i, y_i, h )= 1/6 (К_1i + 2K_2i + 2K_3i + K_4i )

К₁i =  ( x_i, y_i ), K_2i = ( x_i + h/2, y_i + h К_1i/2 )

K_3i = ( x_i + h/2, y_i + h К_1i/2 )

K_4i = ( x_i + h, y_i + h К_3i)

При оцінці погрішності використовують правило Рунге: для цього проводять обчислення спочатку з кроком h, потім з кроком h/2.

Якщо Y_i - наближення, обчислене з кроком h, а y_i наближення, обчислене з кроком h/2, то справедлива оцінка:

Блок-схема алгоритму на рис. 22

Приклад 1. Вирішення рівняння у’’=-y’+2*yx, с початковими умовами y(0)=1, y’(0)=3 на відрізку [0, 10] за допомогою пакету MathCAD.