1. Метод Гауса з вибором головного елемента в стовпці.

На кожному i-м кроці спочатку вибираємо елемент, рівний max _i<j<n | a_ij^(i-1)|. Хай це буде елемент (A_li^(i-1)). Міняємо місцями L-е і i-е рівняння і проводимо i-й крок методу Гауса.

Блок-схема алгоритму приведена на Рис. 2.

2. Метод Гауса з вибором головного елемента в рядку.

На кожному i-м кроці вибирається елемент, рівний max | a_ij |. Хай це буде елемент a_iL. Перезначимо невідомі: x_L = x_i, а х_i = x_L, тобто переставляємо L та i стовпці матриці, а далі проводимо i-й крок методу Гауса.

Блок-схема алгоритму приведена на Рис. 3.

М - масив індексів невідомих ; К - номер стовпця, що містить max елемент; R - робоча змінна, що використовується для перестановки елементів стовпців матриці коефіцієнтів, а також для пере означення індексів невідомих (елементи масиву М міняються місцями).

Рис.2

Рис.3

Приклад 1. Знаходження рішення системи лінійних рівнянь:

в MathCAD

а) вирішення системи лінійних рівнянь методом Крамера.

детермінант не дорівнює 0, система має едине рішення

б) вирішення системи лінійних рівнянь матричним методом

в) вирішення системи лінійних рівнянь методом Гауса - Жордано

Індивідуальне завдання 2 Чисельні методи визначення інтегралів

Мета - закріплення теоретичного матеріалу, складання алгоритмів і програм для наближеного обчислення певних інтегралів із заданою точністю.

Порядок виконання завдання

1. Представити геометричну інтерпретацію методу.

2. Скласти алгоритм обчислення певного інтеграла, використовуючи запропонований вам чисельний метод.

3. Скласти програму на алгоритмічній мові.

4. Ввести програму в ЕОМ і одержати результати.

5. Оформити звіт і представити його до захисту.

Таблиця 2.1.

Варіанти індивідуального завдання 2

№ піп	Підінтегральна функція	Межі інтегрування	Формула Ньютона-Лейбніца	Точність обчислення	Початкове число розбивки	Метод обчислення
1	2	3	4	5	6	7
1		[ 2, 5 ]	-	10-4	10	Симпсона
2		[ 0, 2 ]	1/4 ln(a4+x4)	10-3	10	Симпсона
31		[ 0 , 2 ]	-	10-3	20	Трапецій, прямокутників
42		[ 0 , x ], x[0,1], крок 0,25	-	10-4	30	Симпсона
52		[ 0 , x ], x[0,2], крок 0,25	-	10-4	50	Трапецій
62		[ 0 , x ], x[0,1], крок 0,25	-	10-4	20	Симпсона
7		[-/3,-/4]	x-1/a*tg(ax/2)	10-3	20	Симпсона
8	x cos(ax), a=2.5	[0, /3]	-	10-4	10	Симпсона
9		[ 0 , 3 ]		10-4		Трапецій
10		[ 1 , 5 ]		10-5	20	Прямокутників
11		[ 1 , 5 ]		10-4	30	Симпсона
12		[ 1 , 2 ]		10-5	50	Трапецій
13	cos2(ax),a=1,15	[-/4,/4]		10-3	30	Симпсона
14		[ 0 , 6 ]		10-4	20	Симпсона
152	(x-5)2(10-x)	[ 0 , 20 ]	-	10-5	10	Трапецій та прямо кутників
16		[ -1 , 2 ]	-	10-5	10	Трапецій та прямо кутників
17		[ 0 , 5 ]	-	10-4	10	Трапецій та Симпсона
18		[1,3]	-0.25 ln(a4-x4)	10-3	10	Симпсона
19*	esin2(x) sin(3x)	[0,]	-	10-4	10	Симпсона
20		[0.1,  /2]	-	10-4	20	Прямо кутників, трапецій
21		[0,1]	-	10-3	20	Прямокутників, трапецій, Симпсона
22		[-1,1]		10-4	10	Симпсона
23		[0,2]		10-3	10	Симпсона
24	ecos(x)cos(2x)	[0, ]	-	10-4	6	Симпсона
25	cos2(2x)	[-2,2]	-	10-4	10	Симпсона
26		[-1,1]	-	10-4	10	Прямокутників, трапецій
27	a2 - x2 a=15.36	[1,5]		10-4	30	Трапецій
28		[1,3]		10-3	50	Прямокутників
29		[1,4]		10-4	40	Симпсона
303		[2,5]		10-4	20	Симпсона

Примітки:

1. Порівняти результат, одержаний по формулі трапецій і по формулі прямокутників за 5 ітерацій (на кожній ітерації число розбиття збільшується удвічі).

2. Побудувати таблицю функції F(x) на вказаному відрізку з вказаним кроком.

3. Порівняти результат, одержаний по формулі Симпсона і по формулі Ньютона-Лейбніца, якщо за 5 ітерацій задана точність не досягнута, то вивести відповідне повідомлення.

Зауваження:

1. У всіх варіантах, в яких вказана формула Ньютона-Лейбніца, проводяться обчислення по даній формулі і результат порівнюється з величиною, одержаною з використанням наближених методів обчислення певних інтегралів.

2. Результати виводяться з відповідними коментарями.

Короткі відомості з теорії та основні алгоритми

Визначення

Певний інтеграл з межами інтеграції а і b можна представити як площу фігури, яка обмежена ординатами а і b, віссю абсцис x та графіком підінтегральної функції f(x) (Рис.4)

Рис. 4.

Звичайний інтеграл, у якого відома його первісна

F(x)(F'(x)= (x))

обчислюється по формулі Ньютона-Лейбніца

I = F(b) - F(а)

тому достатньо обчислити значення функції F(x)

Чисельне інтегрування застосовується, коли знаходження F(x) складне або неможливе. Воно полягає в інтерполяції (x) на відрізку [а,b] відповідним поліномом, для якого певний інтеграл обчислюється по формулах чисельної інтегрування. Звичайно відрізок [а,b] розбивається на m частин, до кожної з яких застосовується відповідна проста формула. Таким чином одержують складові формули чисельного інтегрування.