- •Індивідуальне завдання 1 Вирішення системи лінійних рівнянь методом Гауса
- •Порядок виконання завдання
- •1.1. Методи вирішення системи лінійних рівнянь
- •1. Метод Гауса з вибором головного елемента в стовпці.
- •2. Метод Гауса з вибором головного елемента в рядку.
- •Індивідуальне завдання 2 Чисельні методи визначення інтегралів
- •Варіанти індивідуального завдання 2
- •2.1. Метод прямокутників
- •2.2. Метод трапецій
- •Метод парабол (Симпсона)
- •Індивідуальне завдання 3 Чисельні методи рішення задачі оптимізації
- •Варіанти індивідуального завдання 3
- •Індивідуальне завдання 4 Обробка експериментальних даних. Вибір апроксимуючої функції. Визначення параметрів цієї функції методом найменших квадратів.
- •Порядок виконання завдання
- •Варіанти індивідуального завдання 4
- •1. Метод ламаної Ейлера
- •2 Метод Рунге-Кутта
- •Список рекомендованої літератури
1.1. Методи вирішення системи лінійних рівнянь
1. Правило Кpамеpа
_ _ _ _ ____
хj = |(a1 a2 ... b... an)|, J = 1, n
| А |
де | А | - визначник матриці А ;
_ _ _ _
|(а1, а2.. b...an)| - визначник матриці А, в якому j-й стовпець замінений на вектор вільних членів .
Цей метод через свою трудомісткість практично не використовується.
Метод Гауса (метод послідовного виключення).
Розглянемо для простоти систему лінійних алгебраїчних рівнянь четвертого порядку:
a11(0) x1 + a12 (0) x2 + a13(0) x3 + a14(0) x4 = b1(0) (1)
a21(0) x1 + a22(0) x2 + a23(0) x3 + a24(0) x4 = b2 (0)
a31(0) x1 + a32(0) x2 + a33(0) x3 + a34(0) x4 = b3(0)
a41(0) x1 + a42(0) x2 + a43(0) x3 + a44(0) x4 = b4(0)
Припустимо, що коефіцієнт а11, званий провідним елементом першого рядка, не рівний нулю. Розділивши перше з рівнянь (1) на а11, одержимо нове рівняння
x1 + a12(1) x2 + a13(1) x3 + a14(1) x4 = b1(1) (2)
де a1j (1) = a1j (0)/ a11(0), j = 2,3,4.
Виключимо невідому х1 з кожного рівняння системи (1), починаючи з другим, шляхом віднімання рівняння (2), помноженого на коефіцієнт при х1 у відповідному рівнянні. Перетворені рівняння мають вигляд :
a22(1) x2 + a23(1) x3 + a24(1) x4 = b2(1) (3)
a32(1) x2 + a33(1) x3 + a34(1) x4 = b3 (1)
a42(1) x2 + a43(1) x3 + a44(1) x4 = b4(1)
де aij (1)=aij (0) -a1j(1)* ai1(0), i = 2,3,4, j = 2,3,4.
Припустимо, що ведучий елемент другого рядка, тобто коефіцієнт а22, теж відмінний від нуля. Тоді, розділивши на нього перше з рівнянь (3), одержимо :
x2+ a23(2)+ a24(2) x4 = b2(2) (4)
де a2j (2) = a2j(1)/a22(1) , j = 3,4.
Виключивши за допомогою рівняння (4) невідому х2 з двох останніх рівнянь в (3), одержимо:
a33(2) x3 + a34(2) x4 = b3(2) (5)
a43(2) x3 + a44(2) x4 = b4(2)
де aij(2)= aij(1) - a2j(2) ai2(1) i = 3,4, j = 3,4
Якщо ведучий елемент третього рядка а33(2) не рівний нулю, то поділивши на нього перше з рівнянь (5) і віднявши знайдене рівняння, помножене на а43(2), з другого рівняння, одержимо:
x3 + a34(3) x4 = b3(3) (6)
a44(3) x4 = b4(3) (7)
де a3j(3)= a3j(2)/ a33(2), a4j(3)= a4j(2) - a3j(3) a43(2), j = 4
Нарешті, якщо a44(3) не рівно нулю, то, розділивши на нього рівняння (7) приведемо це рівняння до вигляду
x4 = b4(4) (8)
де b4(4)= b4(3)/ a44(3)
Отже, якщо ведучі елементи a11(0), a22(1), a33(2), a44(3) відмінні від нуля, то система (1) еквівалентна наступній системі з трикутною матрицею :
x1 + a12(1) x + a13(1) x3 + a14(1) x4 = b1(1) (9)
x2 + a23(2) x3 + a24(2) x4 = b2(2)
x3 + a34(3) x4 = b3(3)
x4 = b4(4)
яка одержана об'єднанням рівнянь (2),(4),(6),(8).
З системи (9) невідомі x1, x2, x3, x4 знаходять явно в зворотному порядку по формулах
x4 = b4(4)
x3 = b3(3) - a34(3) x4 (10)
x2 = b2(2) - a23(2) x3 - a24(2) x4
x1 = b1(1) - a12(1) x2 - a13(1) x3 - a14(1) x4
Процес приведення системи (1) до трикутного вигляду (9) називається прямим ходом, а знаходження невідомих по формулах (10) - зворотним ходом методом Гауса.
Алгоритм методу Гауса можна записати таким чином: ___ ___
1. За допомогою двох циклів з управляючими змінними i = 1,n та j = 1,n організовуємо введення коефіцієнтів aij і bj, створюючи масиви А і В.
2. Проводимо прямий хід виключення невідомих шляхом перетворення коефіцієнтів по формулах :
aji = - aji/aji
ajk = ajk + aji * ajk
bi = bi + aji * bi
_____ _____ _____
де i = 1,n-1 ; j = i+1,n ; до = i+1,n
Наприкінці перетворень одержуємо :
xn = bn/ann
3. Організовуємо зворотний хід (послідовне знаходження xn-1, xn-2...x1) проводячи обчислення по формулах:
h = bi і h = h - xjaij
_____ _____
де i = n-1,1 ; j = i+1,n, тоді xi = h/aij
В результаті формується масив невідомих X={ x1,x2...xn}
Блок-схема представлена на Рис. 1.
Розглянутий вище найпростіший варіант методу Гауса, званий схемою єдиного розподілу, має наступні недоліки. Якщо ведучий елемент якого-небудь рядка, наприклад коефіцієнт а11(0) при х1 в першому ж рівнянні виявиться рівним нулю, то ця схема формально непридатна, хоча задана система рівнянь може мати єдине рішення. Крім того, якщо визначник не рівний нулю, але в процесі обчислень зустрічаються ведучі елементи які достатньо малі в порівнянні з іншими елементами відповідних стрічок, то ця обставина сприяє посиленню негативного впливу погрішностей округлення на точність результату.
Розглянемо схеми з вибором головного елемента.