- •1.1. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів з остачею.
- •1.2. Корені многочлена. Теорема Вієта
- •1.3. Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. Раціональні дроби. Розкладання правильних
- •Розділ 2. Тригонометричні перетворення
- •2.1. Тригонометричні функції числового аргументу
- •2.2. Основні формули тригонометрії. Формули зведення. Перетворення тригонометричних виразів
- •3.1. Означення логарифма числа
- •3.2. Властивості логарифмів. Логарифмічні перетворення
- •Глава 4. Функції та графіки
- •4.1. Означення функції та її властивості
- •4.2. Графіки алгебраїчних функцій
- •4.3. Графіки тригонометричних функцій
- •4.4. Графіки показникової та логарифмічної функцій
- •4.5. Графіки обернених тригонометричних функцій
- •4.6. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
- •5.1. Рівняння та нерівності. Основні означення
- •5.2. Метод інтервалів. Раціональні нерівності
- •Алгоритм розв’язання нерівностей методом інтервалів
- •5.3. Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної величини
- •5.4. Показникові та логарифмічні рівняння
- •5.5. Показникові та логарифмічні нерівності
- •5.6. Тригонометричні рівняння
- •5.7 Тригонометричні нерівності
- •6. Алгебра комплексних чисел
- •6.1. Означення комплексного числа
- •6.2. Алгебраїчні дії з комплексними числами
1.3. Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. Раціональні дроби. Розкладання правильних
раціональних дробів на прості дроби
Означення 1. Дріб вигляду , де – многочлени, називається раціональним; якщо , то раціональний дріб є правильним.
Означення 2. Раціональні дроби де називаються елементарними.
Має місце твердження: правильний раціональний дріб можна зобразити у вигляді суми елементарних дробів. Зокрема, справедливо,що
Для знаходження коефіцієнтів праву частину зводять до загального знаменника і порівнюють чисельники дробів у лівій і правій частинах одержаної рівності, потім комбінують методи:
1) підставляють ліворуч і праворуч одні і ті ж числа (зазвичай корені знаменника);
2) прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях ліворуч і праворуч рівності і розв’язують отриману систему.
Формули скороченого множення і ділення:
Формула бінома Ньютона:
де – біноміальні коефіцієнти, які знаходяться в –му рядку «трикутника Паскаля».
Алгоритм побудови «трикутника Паскаля» (табл. 1.1): кожний елемент наступного рядка, окрім його крайніх елементів, дорівнює сумі двох сусідніх з ним елементів попереднього рядка; крайні елементи кожного рядка є одиниці.
Таблиця 1.1
Номер рядка |
Біноміальні коефіцієнти |
0 |
1 |
1 |
1 1 |
2 |
1 2 1 |
3 |
1 3 3 1 |
4 |
1 4 6 4 1 |
5 |
1 5 10 10 5 1 |
6 |
1 6 15 20 15 6 1 |
Приклад 1. 7. Знайти
Розв’язання. Коефіцієнти беремо з 5-го рядка, знаки “ ”, “–” чергуємо: .
Формула виділення повного квадрата:
Приклад 1.8. Спростити
Розв’язання. ОДЗ:
якщо
Приклад 1.9. Спростити вираз
Розв’язання.
ОДЗ: якщо
Приклад 1.10. Спростити
Розв’язання. Позначимо цей вираз через
ОДЗ перетворень:
Приклад 1.11. Спростити вираз
Розв’язання.
,
якщо ( це ОДЗ перетворень).
Приклад 1.12. Спростити вираз
Розв’язання. ОДЗ:
Звільнимося від ірраціональності в знаменнику спочатку першого, а потім другого дробу. Маємо:
1)
2)
3) .
4)
5)
Отже, , якщо .
Приклад 1.13. Знаючи табличні інтеграли
знайти інтеграл
Розв’язання. Розкладемо підінтегральний дріб на елементарні дроби:
Маємо: Покладемо тоді і
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях:
Тоді
Завдання для самостійної роботи
1.14. Спростити:
a) b) c)
d) e) f) g) h)
i)
j)
1.15. Розкласти дріб на суму елементарних дробів.
1.16. Розкласти дріб на суму елементарних дробів.