- •1.1. Многочлени від однієї змінної. Ділення многочленів з остачею.
- •1.2. Корені многочлена. Теорема Вієта
- •1.3. Елементарні формули алгебри. Спрощення алгебраїчних виразів. Раціональні дроби. Розкладання правильних
- •Розділ 2. Тригонометричні перетворення
- •2.1. Тригонометричні функції числового аргументу
- •2.2. Основні формули тригонометрії. Формули зведення. Перетворення тригонометричних виразів
- •3.1. Означення логарифма числа
- •3.2. Властивості логарифмів. Логарифмічні перетворення
- •Глава 4. Функції та графіки
- •4.1. Означення функції та її властивості
- •4.2. Графіки алгебраїчних функцій
- •4.3. Графіки тригонометричних функцій
- •4.4. Графіки показникової та логарифмічної функцій
- •4.5. Графіки обернених тригонометричних функцій
- •4.6. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
- •5.1. Рівняння та нерівності. Основні означення
- •5.2. Метод інтервалів. Раціональні нерівності
- •Алгоритм розв’язання нерівностей методом інтервалів
- •5.3. Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної величини
- •5.4. Показникові та логарифмічні рівняння
- •5.5. Показникові та логарифмічні нерівності
- •5.6. Тригонометричні рівняння
- •5.7 Тригонометричні нерівності
- •6. Алгебра комплексних чисел
- •6.1. Означення комплексного числа
- •6.2. Алгебраїчні дії з комплексними числами
1.2. Корені многочлена. Теорема Вієта
Теорема (про раціональні корені многочлена). Якщо раціональне число ( , – цілі взаємно прості числа) – корінь многочлена з цілими коефіцієнтами, то – дільник вільного члена, – дільник старшого коефіцієнта.
Висновок 1. Раціональні корені зведеного многочлена – цілі.
Висновок 2. Цілі корені – дільники вільного члена.
Теорема Вієта. Якщо - корені многочлена , то
При одержимо многочлен , і для його коренів справедливо, що
Для зведеного многочлена будемо мати
Приклад 1.5. Знайти корені многочлена
Розв’язання. Знайдемо спочатку раціональні корені. Оскільки то раціональними коренями можуть бути тільки числа
Одержані числа перевіряємо на можливість бути коренями многочлена: отже, не є корінь, а – корінь многочлена.
Розділимо многочлен на (кажуть: виділимо корінь ):
Задачу зведено до знаходження коренів многочлена Якщо крайні коефіцієнти одержаного многочлена прості, то складають нову послідовність чисел, які можуть бути коренями. Одне і те ж число може бути коренем декілька раз, тому перевіримо: отже, є коренем тільки один раз. Продовжимо перевірку інших чисел: Виділимо знайдений корінь
Одержаний многочлен коренів не має. Корені цього многочлена:
Приклад 1.6. Знайти корені многочлена
Розв’язання. Оскільки многочлен зведений, то його раціональні корені – цілі. Цілі корені – дільники вільного члена, а саме: Маємо:
претендентів на корені стало менше:
Вилучені раніше числа перевіряти не треба, а потрібно перевірити ще раз:
Отже,
Після знаходження кратного кореня одержимо рівняння Розв’язуючи його, знаходимо
Завдання для самостійної роботи
1.11. Розв’язати квадратні рівняння за теоремою Вієта:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
1.12. Знайти дійсні корені многочленів:
1) 2)
3) 4)
1.13. Розв’язати рівняння в області дійсних чисел:
1) 2)
3) 4)