13. Классификация функций.

Определение 1: Простейшими (основными) элементарными функциями являются:

• постоянная функция f(х)=С, С=const,

• степенная функция f(х)=х^ (—любое число),

• показательная функция f(х)=а^х (0<а1),

• логарифмическая функция f(х)=log_aх (0<а1),

• тригонометрические функции f(х)=sinx, f(х)=cosx, f(х)=tgx, f(х)=ctgx,

• обратные тригонометрические функции f(х)=arcsinx, f(х)=arccosx, f(х)=arctgх, f(х)=arcctgx.

Определение 2: Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.

На основании определения следует, что элементарные функции являются функции заданные аналитически.

Классификация элементарных функций:

1. Функция вида Р(х)=a₀х^m+a₁х^m-1+…+a_m-1х+a_m, где m0 - целое число, a₀, a₁, …, a_m-1, a_m любые числа — коэффициенты (а₀0), называется целой рациональной функцией или многочленом степени m. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.

2. Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

, называется дробно-рациональной функцией.

Совокупность целых рациональных (1) и дробно-рациональных (2) функций образует класс рациональных функций.

3. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной.

Алгебраические функции: рациональные (1 и 2) и иррациональные (3).

4. Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной функцией.

13. Прямоугольная декартова система координат и полярная система координат.

Определение 1: Системой координат называется совокупность одной, двух, трёх или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат.

Определение 2: Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

Чаще всего рассматриваются двухмерная или трёхмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчёта по каждой из осей обозначаются стрелками.

Определение 3: Полярная система координат состоит из некоторой точки О – полюса, и исходящего из неё луча ОМ – полярной оси и задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков.

Определение 4: Полярными координатами точки М называются числа  и . При этом число  – полярный радиус, число  – полярный угол. М(; ), где обычно 0<+; и 0<2 – главные значения.

Установим связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами. Будем предполагать, что точка (0; 0) находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка М имеет прямоугольные координаты х и у и полярные координаты  и 

(М(х; у)М(; )), тогда

• – выражение прямоугольных координат через полярные;

• – выражение полярных координат через прямоугольные (при этом необходимо правильно выбирать главные значения).

Замечание 1: Прямоугольная и полярная системы координат определяют однозначное положение точки на плоскости с помощью своих координат (главных для полярной).

Замечание 2: Для построения точки в полярной система координат можно использовать не только главные значения, например М(-1; 405).