Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
3 лекция Функции.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
09.11.2019
Размер:
80.38 Кб
Скачать

Лекция 3. Функции.

  1. Понятие функции.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,…, постоянные – a, b, c,… Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

При изучении различных явлений природы и решении экономических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой.

Пусть X и Y—некоторые числовые множества.

Определение 1: Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (х; у) таких, что хХ, yY и каждое х входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое у входит по крайней мере в одну пару. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у и пишут y=f(x). Другими словами: каждому значению переменной хХ, соответствует единственное значение переменной yY.

Определение 2: Число у называется значением функции f в точке х.

Определение 3: Переменную y называют зависимой переменной (значением или функцией), а переменную х - независимой переменной (или аргументом).

Определение 4: Множество X – область определения (или существования) функции и обозначается D(f(x)) или D(у), а множество Y – область значений функции и обозначается Е(f(x)) или Е(у).

Определение 5: Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянная функция часто обозначается буквой С (f(x)=C, где С=const).

На плоскости функцию изображают в виде графика – множеств всех точек (x; у), координаты которых связаны соотношением у=f(х), называемым уравнением графика.

Заметим, что не всякая линия является графиком функции.

Определение 6: Функция называется явной, если она задана формулой y=f(x).

Определение 7: Функция называется неявной, если она задана уравнением F(x; у)=0.

  1. Способы задания функции.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции.

Существуют три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.

  1. Аналитический способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком порядке действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно.

  1. Табличный способ - зависимость между переменными величинами определяется с помощью указанной таблицы. Область определения – множество чисел, расположенных в первой строке (столбце) таблицы, область значений – множество чисел, расположенных во второй строке (столбце) таблицы. Так задаются функции, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

  1. Графический способ - зависимость между переменными задаётся посредством графика. Графический способ задания функции не всегда даёт возможность точно определить численные значения аргумента, но преимуществом – наглядность.

  1. Словесный способ - зависимость между переменными величинами определяется словами. Основные недостатки: невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента; отсутствие наглядности. Преимущество: возможность задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Определение 1: Если на некотором множестве X определена функция z=(x) со множеством значений Z, а на множестве Z - функция y=f(z), то функция у=f[(х)] называется сложной функцией от х (или суперпозицией функций (xf(z)), а переменная z - промежуточной переменной сложной функции.

Определение 2: Пусть X и Y — некоторые множества и пусть задана функция у=f(х), т. е. множество пар чисел (х; у) (хX, уY), в котором каждое число х входит в одну и только одну пару, а каждое число y - по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, причём, каждому каждому значению переменной yY, соответствует единственное значение переменной хХ, то получим множество пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией х=(у) к функции у=f(х).

х=(у)=f-1(у).

Функции у=f(х) и х=(у) – взаимнообратные.

Теорема 1: Функция у=f(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция у=f(х) задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами D(у) и Е(у).

Теорема 2: Если функция возрастает (убывает), то обратная к ней функция также возрастает (убывает).

Замечание: Функции у=f(х) и х=(у) – изображаются одной и той же кривой, т.е. их графики совпадают. Если же в функции х=(у) переобозначить, как обычно независимую переменную через х, а зависимую через у, то обратная функция к у=f(х) примет вид у=(х) и её график будет симметричен графику функции у=f(х) относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Функция может быть задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.