- •Введение в теорию рядов
- •§1. Основные понятия
- •§2. Свойства сходящихся рядов
- •§3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •I. Необходимый признак сходимости рядов.
- •II. Признак Даламбера.
- •III. Радикальный признак Коши.
- •IV. Интегральный признак Коши.
- •§4. Признаки сходимости знакопеременных рядов
- •§5. Степенные ряды
- •§6. Ряды Маклорена и Тейлора
- •§7. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
- •§8. Применение рядов в приближенных вычислениях
§5. Степенные ряды
До сих пор рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени:
(1)
Определение. Такой ряд называются степенным, а числа называются коэффициентами степенного ряда.
Рассматривают и степенные ряды более общего вида:
(2)
(по степеням ). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (1), ибо приводится к нему простой заменой переменной: .
Определение. Множество значений , при которых степенной ряд (1) или (2) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы:
Теорема Абеля.
1) Если степенной ряд вида (1), т.е. по степеням , сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях таких, что .
2) Если степенной ряд вида (1) расходится при значении , то он расходится при всех значениях таких, что .
Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.
Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (2), т.е. ряда по степеням , является интервал с центром в точке и с концами в точках и .
Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.
У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при ), у других охватывает всю числовую ось (при ).
Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (1).
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:
(3)
Т.к. при каждом конкретном ряд (3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:
Допустим, что существует
.
Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если (т.е. при ), и расходится, если (т.е. при ).
Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно при и расходится при , и интервалом сходимости является интервал , а радиусом сходимости является число .
При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости, поэтому необходимо, подставляя значения в ряд (1), исследовать получающиеся числовые ряды в каждом конкретном случае.
Замечание: Интервал сходимости можно найти, используя радикальный признак Коши (также применяя его к ряду (3)):
.
Примеры.
Найти области сходимости степенных рядов:
1)
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
.
Применим к нему признак Даламбера.
Отсюда получаем интервал сходимости: .
Исследуем сходимость на концах интервала:
При исходный ряд принимает вид: – это обобщенный гармонический ряд при , а значит, он сходится. При получаем абсолютно сходящийся ряд , т.к. ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид: .
2) .
Решение. Ряд, составленный из модулей, имеет вид:
.
ряд сходится при любых . Таким образом, интервалом сходимости является интервал .
3)
Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда , исследуем с помощью радикального признака Коши:
Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки .
4)
Решение.
.
Отсюда получаем интервал сходимости: .
При исходный ряд имеет вид: – это расходящийся ряд (обобщенный гармонический при ). Подставляя , получаем условно сходящийся ряд . Окончательно, интервал сходимости ряда имеет вид: .
Свойства степенных рядов:
1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией во всем интервале сходимости ряда.
2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему в интервале сходимости
.
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать сколь угодно раз. При этом будут получаться степенные ряды с тем же радиусом сходимости:
Задачи.
Найти области сходимости степенных рядов:
1 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. (Указание: при исследовании сходимости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга ).