МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова
Кафедра высшей и прикладной математики
Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк
Введение в теорию рядов
Учебно-методическое пособие
Москва 2012
УДК 51
ББК 22.1
Рецензент – доктор физ.-мат.наук, профессор Карташов Э.М.
Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк
Введение в теорию рядов. Учебно-методическое пособие. М.:ИПЦ МИТХТ, 44 с.
Утверждено библиотечно-издательской комиссией
в качестве учебно-методического пособия
для студентов 2–4-го курсов дневного отделения
всех специальностей МИТХТ им. М.В.Ломоносова
по дисциплине «Высшая математика», поз. /2011.
Ó МИТХТ им. М.В.Ломоносова, 2012
§1. Основные понятия
Определение. Числовым рядом
называется бесконечная последовательность
чисел
,
соединенных знаком сложения:
. (1)
Числа
называются членами ряда, а член
– общим или n-м
членом ряда.
Ряд (1) считается заданным, если известен
его общий член
,
(
),
т.е. задана функция
натурального аргумента. Например, ряд
с общим членом
имеет вид:
Образуем новую последовательность:
………………..
Определение. Сумма
первых членов ряда называется n-ой
частичной суммой ряда и обозначается
.
Определение. Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, то такой ряд называется сходящимся, а этот предел называется суммой ряда.
То есть если
,
то ряд сходится, а
– сумма ряда. В этом смысле можно записать
.
Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда суммы нет.
Пример 1. Исследовать на сходимость геометрический ряд, т.е. ряд, составленный из последовательных членов геометрической прогрессии:
(2)
Решение: Необходимо установить, при
каких значениях знаменателя прогрессии
ряд (2) сходится, а при каких – расходится.
Из школьного курса алгебры известно,
что сумма первых
членов геометрической прогрессии, т.е.
n-я частичная сумма
ряда при
равна
.
Возможно несколько случаев:
1) если
,
то
и
,
т.е. ряд сходится и его сумма
.
2) если
,
то
и, следовательно,
и ряд расходится.
3) если
,
то ряд (2) примет вид
,
его
и
,
ряд расходится.
4) если
,
то ряд (2) примет вид
,
и его
при
четном и
при
нечетном, следовательно,
не существует, и ряд расходится.
Т.о. геометрический ряд сходится к сумме
при
и расходится при
.
Пример 2. Найти сумму ряда:
(3)
Решение:
-я
частичная сумма ряда:
Учитывая, что
,
,
,...,
,
и тогда частичную сумму ряда можно представить в виде
получаем:
,
т.е. сумма ряда
.
§2. Свойства сходящихся рядов
Свойство 1. Если ряд
сходится и имеет сумму
,
то и ряд
,
полученный умножением данного ряда на
число
,
также сходится, и имеет сумму
.
Свойство 2. Если ряды
и
сходятся и их суммы соответственно
равны
и
,
то и ряды
также сходятся и их суммы равны
соответственно
и
.
Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или добавления) конечного числа членов.
Установить сходимость (расходимость)
ряда путем нахождения частичной суммы
и вычисления
,
как это сделано в примерах 1 и 2, возможно
лишь в редчайших случаях из-за
принципиальных трудностей при нахождении
(суммировании первых
членов ряда). Обычно сходимость
(расходимость) ряда устанавливается с
помощью специальных теорем – признаков
сходимости.
В большинстве признаков сходимости вам придется вычислять некоторый предел. Напомним кратко два основных приема вычисления пределов, которыми вы будете пользоваться чаще всего.
А) Предел отношения двух степенных выражений на бесконечности равен:
0, если степень числителя меньше степени знаменателя;
,
если степень числителя больше степени
знаменателя;
отношению старших коэффициентов, если степень числителя равна степени знаменателя*.
Б) Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых величин (б.м.) или двух бесконечно больших величин (б.б.) равен пределу отношения их производных. Например, по правилу Лопиталя имеем:
