§4. Признаки сходимости знакопеременных рядов

Определение: Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (1)

где – положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости:

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена .

Т.е. для того, чтобы исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, достаточно проверить выполнение двух условий:

1) (2)

2) (3)

Замечание: Неравенства (2) могут выполняться, начиная с некоторого .

Пример 1.

Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , и вообще, , а общий член ряда при стремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится.

Пример 2.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Проверим условие (2): . Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функция монотонно убывает на некотором интервале вида . Для этого вычислим ее производную . Т.к. , при , то отсюда следует, что при , т.е. функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенство (2) выполняется для любых , начиная с трех.

Проверим условие (3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим . Следовательно, и .

Т.о. оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.

Предполагаем теперь, что в записи

(4)

имеются как положительные, так и отрицательные .

Теорема (модульный признак сходимости знакопеременных рядов).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (4):

(5)

сходится, то сходится и данный ряд.

Отметим, что если ряд (5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд) расходится.

В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости:

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин , расходится, а сам ряд сходится.

Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А ряд является абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин , сходится (обобщенный гармонический при ).

Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:

Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке):

Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Примеры:

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

1)

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: сходится по признаку сравнения, т.к. , а ряд – сходится (обобщенный гармонический ряд при ). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.

2)

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом (p подберем в процессе сравнения), имеем и лишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при , следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет.

Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что:

1) , 2) .

Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится.

Задачи.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.