§3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
I. Необходимый признак сходимости рядов.
Необходимым признаком сходимости рядов является следующая теорема.
Теорема. Если ряд сходится, то предел
его общего члена
при
равен нулю, т.е.
.
Однако на практике в таком виде применять теорему для исследования ряда невозможно, т.к. мы не знаем, сходится ли наш ряд. Поэтому для практического применения необходимый признак сходимости сформулируем в следующем виде:
Следствие. Если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость
ряд
Решение. Т.к.
,
следовательно (по необходимому признаку
сходимости), ряд расходится.
Очень важно помнить, что из того, что , не следует ни сходимость, ни расходимость ряда. Говорят, что при необходимый признак не работает.
Замечание: Смысл или польза
этого признака: если общий член ряда
стремится к нулю, то ряд может быть как
сходящимся, так и расходящимся, а если
,
то это заведомо расходящийся ряд.
Этот признак является необходимым,
но не достаточным.
В качестве примера рассмотрим ряд
,
называемый гармоническим.
Необходимый признак сходимости для
этого ряда не работает, т.к.
.
Докажем, что ряд расходится.
Перепишем ряд в виде:
(4)
Напишем вспомогательный ряд:
(5)
Ряд (5) строится так, что каждый его член
соответствующего ряда (4).
Обозначим через
сумму
первых членов ряда (4), и через
частичную сумму ряда (5).
Т.к. каждый член ряда (4)
соответствующего ему члена ряда (5), то
.
(6)
Вычислим несколько частичных сумм ряда
(5) для значений
,
равных
:
………………………………………………………….
следовательно,
,
а тогда в силу (6)
,
и ряд (4) расходится.
Далее рассмотрим достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
II. Признак Даламбера.
Теорема. Пусть для ряда
(
)
существует предел отношения (
)-го
члена ряда к
–му:
.
Тогда:
а) если
,
то ряд сходится,
б) если
,
то ряд расходится,
в) если
,
то вопрос о сходимости ряда остается
нерешенным, т. е. признак не работает.
Примеры. Исследовать следующие ряды на сходимость:
1)
Решение. Т.к.
то
по признаку Даламбера ряд сходится.
2)
Замечание. Напомним, что
,
поэтому
.
Решение. Воспользуемся формулой
,
тогда:
следовательно,
по признаку Даламбера ряд сходится.
3)
Решение:
и ряд расходится.
Замечание: С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость имеет смысл только тогда, когда в выражении для - го члена ряда имеются показательная функция и/или факториал.
III. Радикальный признак Коши.
Теорема. Пусть для ряда , ( ) существует
.
Тогда
а) если , то ряд сходится,
б) если , то ряд расходится,
в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.
Примеры. Исследовать следующие ряды на сходимость:
1)
Решение. Вычислим
,
следовательно, по радикальному признаку
Коши ряд расходится.
2)
Решение. Вычислим
,
следовательно, по радикальному признаку
Коши ряд сходится.
Замечание. С помощью радикального признака Коши исследовать ряды на сходимость имеет смысл тогда, когда –й член ряда представляет собой некое выражение, возведенное в –ю степень.