Дослідження поширення температури в металевому стержні

Мета: експериментально визначити закономірність поширення температури по довжині стержня, ознайомитись з методом теоретичних розрахунків, порівняти дослідні дані з результатами теоретичних розрахунків.

Основою дослідної установки (рис. 2.1) є тонкий металевий стержень (thin metallic bar) 1 довжиною , м, периметром П і площею поперечного перерізу f, м² з великим значенням коефіцієнта теплопровідності . Стержень закріплений між двома поверхнями. Лівий торець нагрівається електронагрівником 8, потужність якого регулюється автотрансформатором 9 і контролюється електроприладами 10 і 11. Правий торець (butt end) стержня охолоджується. Для повної потужності споживаної енергії температура лівого торця набуває сталого значення t₀. Під час досліду температура правого торця t₈ підтримується також сталою. Температури t₀ i t₈ вимірюються термопарами 2 і 3, відповідно, які через перемикач 4 зєднані з потенціометром 5. По довжині стержень поділений на Z різних ділянок х, на кожній з яких вмонтована термопара 6 для вимірювання температури стінки.

Досліди виконуються таким чином. Викладач або лаборант вмикає електронагрівник на певний режим нагрівання (mode of heating). Стрілку перемикача переводять на термопару 3. За період нагрівання температура правого торця стержня підтримується близько заданої величини. Усталений режим досягається при незмінній температурі t₈. Тоді вимірюються показання всіх термопар по довжині стержня і записуються у журнал спостережень. Виконують кілька дослідів для різних температур t₀ i t₈.

Обробка результатів

1 Частина

Показання термопар за допомогою градуювальних таблиць (calibration charts) або графіків переводять у значення температури в градусах Цельсія. У випадку використання мідь-константанових термопар переведення значення термо-е.р.с. в градуси можна здійснювати за формулою (1.1). За перерахованими показаннями температури будують графік розподілу температури по довжині стержня t_x= f(х).

Рисунок 2.1 - Принципова схема дослідної установки

Таблиця 2.1 – Журнал спостережень

	Ділянки стержня
	0	0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4
Е, мВ
tексп, С
tтеор, С

Далі задачу розвязують теоретично. Якщо стержень достатньо тонкий, а його теплопровідність велика, то без істотної помилки можна знехтувати температурними градієнтами в напрямку, перпендикулярному до осі стержня, і вважати температуру в кожному перерізі близькою до сталої. В такому випадку температура є функцією тільки однієї незалежної змінної х. Позначимо температуру навколишнього середовища t_п., яка вважається сталою, і дослідимо процес поширення теплоти в елементарній ділянці dx на відстані х від гарячого торця стержня. Згідно з теорією теплопровідності теплота, що проходить за час d через переріз стержня на відстані х, дорівнює:

Q_x=-f(dt / dx)d . (2.1)

Теплота, що проходить через переріз на відстані х+dx за час d, буде:

Q_x+dx=-f(dt / dx+d²t/dx²dx)d . (2.2)

Ділянка стержня між двома перерізами за рахунок теплопровідності отримає за час d теплоту, яка дорівнює різниці між (2.1) і (2.2), тобто

dQ= f (d²t/dx²)dxd . (2.3)

За цей час віддача теплоти в навколишнє середовище від цієї ділянки буде складати:

dQ_=Пdx(t-t₀)d, (2.3)

де  – середній коефіцієнт тепловіддачі від поверхні стержня в навколишнє середовище, Вт/(м²К), який може вважатись сталим,

П- периметр перерізу стержня, м.

Для усталеного режиму матимемо :

fd²t/dx²dxd = П(t-t_н)d , (2.4)

де f – площа поперечного перерізу стержня, м².

Звідки диференціальне рівняння процесу поширення теплоти у стержні буде:

d²t/dx² = П(t-t_н)/(f) = m²(t-t_н). (2.5)

Тут величину m називають модулем ребра і визначають як:

. (2.6)

Граничними умовами (2.5) є : t=t₀, для х=0; t=t₈, для х=.

Для t₀=const рівняння (2.5) можна переписати так:

d²(t-t_н)/dx² – m²(t-t_н) = 0. (2.7)

Це рівняння зі сталими коефіцієнтами, загальний інтеграл якого має вигляд

t-t_н = С₁ exp(mx) + C₂ exp (-mx). (2.8)

Після розв’язання (2.8) відносно С₁ і С₂ отримаємо формулу для зміни температури по довжині стержня:

t_x – t_н = ((t₈-t_н)sh(mx)+(t₀-t_н)sh(m(-x)))/sh(m). (2.9)

Значення гіперболічних функцій обчислюються калькулятором або визначаються з додатку Г.

Отримані в розрахунках температури порівнюють з дослідними даними, наносять на графік t=(x) і визначають розбіжність. Далі роблять висновки про адекватність математичної моделі та можливості її застосування для визначення поставленої задачі.