Комплект задач для самостоятельного решения по теме «Прямое z - преобразование»

Задача №2.9

Найти z-преобразование дискретного сигнала

,

где ,

Задача №2.10

Найти z-преобразование дискретного сигнала

,

где ,

Задача №2.11

Найти z-преобразование дискретного сигнала

,

где ,

Задача №2.12

Найти z-преобразование дискретного сигнала

.

Задача №2.13

Найти z-преобразование дискретного сигнала

.

Задача №2.14

Найти z-преобразование дискретного сигнала

.

Задача №2.15

Найти z-преобразование дискретного сигнала

.

Задача №2.16

Определить радиус сходимости для z-преобразования дискретного сигнала

Задача №2.17

Найти z-преобразование и радиус сходимости

дискретного сигнала при ,

Задача №2.18

Найти z-преобразование знакопостоянной убывающей дискретной экспоненты

, где Задача №2.19

Найти z-преобразование знакопеременной убывающей дискретной экспоненты

, где

Задача №2.20

Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала y_n фильтра рисунка 2.6 через Z –преобразование X(z) входного сигнала x_n .

Рисунок 2.6

Задача №2.21

Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала y_n фильтра рисунка 2.7 через Z –преобразование X(z) входного сигнала x_n .

Рисунок 2.7

Задача №2.22

Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала y_n фильтра рисунка 2.8 через Z –преобразование X(z) входного сигнала x_n .

Рисунок 2.8

Задача № 2.23

Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала y_n фильтра рисунка 2.9 через Z –преобразование X(z) входного сигнала x_n .

Рисунок 2.9

Задача №2.24

Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала фильтра рисунка 2.10 y_n через Z –преобразование X(z) входного сигнала x_n .

Рисунок 2.10

Задача №2.25

Выразите Z –преобразование Y(z) выходного сигнала y_n цифровой линии задержки рисунка 2.11 через Z – преобразование X(z) входного сигнала x_n

Рисунок 2.11

Задача №2.26

Найдите Z-преобразование дискретного сигнала

Задача №2.27

Найдите Z-преобразование сигнала

если

Задача №2.28

Начертите временную диаграмму дискретной свертки y_n сигналов

Задача №2.29

Определите Z-преобразование сигнала на выходе фильтра рисунка 2.12, если на его входе действует сигнал

Рисунок 2.12

Задача №2.30

На входе цифровой цепи рисунка 2.13 действует сигнал

Определите Z – преобразование выходного сигнала y_n.

Рисунок 2.13

Задача №2.31

Определите Z-преобразование сигнала на выходе фильтра рисунка 2.14, если на его входе действует сигнал

Рисунок 2.14

0. Обратное Z – преобразование

Обратное Z – преобразование определяется соотношением

Интеграл от функции комплексной переменной , взятый по замкнутому контуру С, содержащемуся в области, где функция является однозначной и аналитической, за исключением особых точек однозначного характера, и не проходящему через особые точки, равен произведению суммы вычетов относительно всех особых точек, заключенных внутри С, на 2πj.

Если функция f(z) = (z) / (z) и (z) имеет простой нуль при z = a, то

Выч.f(z) = (a) /  ^‘(а),

где  ^‘(z) - производная функции  (z).

Если f(z) функция имеет более одного простого полюса, то её следует представить в виде суммы дробей с знаменателями , где - простые полюсы функции.

Если функция f(z) = (z) / (z) и (z) имеет нуль кратности m при z = a, то вычет определяется по формуле

Задача №2.32

Требуется найти дискретный сигнал x_n, если его Z-преобразование определяется соотношением

Решение задачи №2.32

Воспользуемся формулой обратного Z –преобразования

Представим подинтегральную функцию в виде отношения функций , где , а Функция имеет простой нуль . Поэтому

Поскольку используется одностороннее Z - преобразование, то

Задача №2.33

Требуется найти дискретный сигнал x_n, если его Z-преобразование определяется соотношением

Решение задачи №2.33

На основании свойства линейности Z – преобразования можно записать

где

Следовательно,

Поскольку Z – преобразование сигнала x2_n равно Z – преобразованию сигнала x1_n, умноженному на z^-N, то x2_n представляет собой задержанный на N отсчетов сигнал x1_n

Таким образом,

Определим сигналы x1_n и x2_n

Определим сигнал

Задача №2.34

Постройте временную диаграмму сигнала x_n, если его Z – преобразование определяется соотношением

Решение задачи №2.34

Из выражения для прямого Z – преобразования X(z) последовательности отсчетов конечной длины x_n следует, что коэффициенты полинома являются отсчетами сигнала, причем порядковый номер отсчета n равен абсолютной величине показателя степени комплексной переменной z.

Временная диаграмма сигнала x_n приведена на рисунке 2.15

Рисунок 2.15 – Временная диаграмма сигнала x_n

Задача №2.35

Требуется найти дискретный сигнал x_n, если его Z-преобразование определяется соотношением

.

Решение задачи №2.35

Представим полином в знаменателе в виде произведения линейных двучленов. Для этого определим корни уравнения

.

.

Тогда

.

Представим функцию в виде суммы двух функций с двучленом в знаменателе первой и двучленом в знаменателе второй.

Для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов M и N:

(2.6)

Откуда

Из двух последних соотношений получим

.

Коэффициенты M и N можно найти и другим способом.

Для определения M умножим левую и правую части уравнения (2.6) на z-z₁ и найдем пределы функций в левой и правой частях уравнения при

Откуда

Для определения N умножим левую и правую части уравнения (2.6) на z-z₂ и найдем пределы функций в левой и правой частях уравнения при

Откуда

Таким образом

.

Определим дискретный сигнал, воспользовавшись обратным Z-преобразованием

Случай 1.

.

, где .

Подставим в последнее соотношение z₁ и z₂ в показательной форме

На рисунке 2.16 приведена временная диаграмма сигнала при A₁= -1.5, A₂=0.9.

Сигнал представляет собой затухающее гармоническое колебание.

Рисунок 2.16 – Затухающее гармоническое колебание

Случай 2:

При этом - действительные числа.

Тогда

.

Пусть A₁= -1.40, A₂ =0.45. Тогда a = 0.9, b = 0.5.

На рисунке 2.17 приведена временная диаграмма сигнала

Рисунок 2.17 –Апериодический сигнал

Пусть A₁= 1.40, A₂ =0.45. Тогда a = -0.5, b = -0.9.

На рисунке 2.18 приведена временная диаграмма сигнала

Рисунок 2.18 – Знакопеременное затухающее

колебание

Случай 3: .

Тогда .

Воспользуемся формулой обратного Z-преобразования

.

В случае кратных полюсов вычет определяется по формуле

В рассматриваемом случае .

Так как полюс кратности m = 2, то

Пусть A₁= - 1.8, тогда

Временная диаграмма сигнала приведена на рисунке 2.19.

Рисунок 2.19 – Апериодический сигнал

Пусть A₁=1.8, тогда

Временная диаграмма сигнала приведена на рисунке 2.20.

Рисунок 2.20 – Знакопеременное затухающее колебание

Задача №2.36

Z-преобразование дискретного сигнала x_n определяется соотношением

Постройте временную диаграмму сигнала x_n с нулевого по десятый отсчет включительно.

Решение задачи №2.36

Представим функцию в виде cуммы двух функций с двучленом в знаменателе первой и двучленом в знаменателе второй

Откуда

Из двух последних соотношений получим

Следовательно,

Определим сигнал x_n

Временная диаграмма сигнала приведена на рисунке 2.21.

Рисунок 2.21 – Временная диаграмма сигнала x_n

\