Раздел 5. Ряды. §. Определения.
Def:
Конструкция вида
называется рядом.
– элементы
(слагаемые) ряда....
– общий член ряда.
Определим:
;
;
;
.
Величины
называются
частичными (частными) суммами ряда.
Ряд
называется сходящимся, если сходится
последовательность его частных сумм,
т.е. существует и конечен
.
При этом
называется суммой ряда. В противном
случае ряд называется расходящимся.
Таким
образом, чтобы ответить на вопрос о
сходимости ряда
достаточно ответить на вопрос о
сходимости последовательности
и наоборот: если есть последовательность
,
то для ее сходимости достаточно
исследовать сходимость ряда
,
для которого частичными суммами являются
элементы последовательности
.
§. Критерий Коши сходимости ряда.
Критерий
Коши для сходимости ряда следует из
критерия Коши для сходимости
последовательности частных сумм
:
.
Если
ряд сходится то, из критерия Коши при m
= n + 1 следует, что
т.е. необходимое условие сходимости
ряда:
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при n .
Из критерия Коши также следует:
Сходимость ряда не изменится, если в нем изменить, добавить, или изъять любое конечное количество слагаемых. (
)
Сходимость ряда не изменится, если изъять конечное или нет число нулевых элементов.
Для
ряда
величина
называется частной (или частичной)
суммой, а величина
называется остатком после n-го
члена.
Для сходящегося ряда остаток после n-го члена необходимо стремится к нулю.
Примеры:
а).
.
При
=
=
.
т.е. несмотря на то, что общий член ряда стремится к нулю, ряд расходится. Стремление общего члена ряда к нулю это только необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное.
б).
;
рассмотрим
Т.е. для ряда не выполнен критерий Коши. Ряд расходится. Этот ряд называется гармоническим.
в).
;
.
При
.
Общий член ряда не стремится к нулю. Не выполнено необходимое условие сходимости. Ряд расходится.
г).
;
.
Общий член ряда не стремится к 0. Ряд расходится.
д).
;
не стремится к 0. Ряд расходится.
е).
;
Ряд представляет собой сумму геометрической
прогрессии.
.
– получена формула для нахождения
частичной суммы ряда.
существует, если |q| <
1. Тогда
.
Ряд сходится.
§. Абсолютная сходимость.
Def:
Ряд
называется сходящимся абсолютно, если
сходится ряд
.
Т. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
– сходится
.
Учитывая,
что
получаем
Т.е.
исходный ряд сходится. ▲
Ряд, который сходится, но не сходится абсолютно, называется сходящимся условно.
Замечание:
Если
для ряда
все его члены не отрицательны, то есть
(
),
то последовательность его частичных
сумм не убывает и, следовательно, для
сходящегося ряда его сумма – это верхняя
грань его частичных сумм.
§. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
а). Мажорантный признак.
Пусть
имеется два ряда с положительными
членами (знакоположительных)
и
и
N
n>N
.
Тогда: если ряд
сходится
–
сходится;
если ряд расходится – расходится.
▲.
б). Асимптотическая форма мажорантного признака.
Пусть
n
и, при n,
.
Тогда: сходится
сходится
;
расходится расходится .
в). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости рядов.
Пусть
n
при n
.
Тогда ряды
и
сходятся
или расходятся одновременно.
г). Предельная форма асимптотического признака одновременной сходимости – расходимости рядов
Пусть
n
и существует, конечен и не равен нулю
,
то ряды
и
сходятся – расходятся одновременно.