1. Теорія ймовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості і операції над ними.Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.

Комбінато́рика (Комбінаторний аналіз) — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай, скінченної множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що зветься комбінаторною конфігурацією. Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, оптимізація таких алгоритмів, а також розв'язання задач переліку.

Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття.

Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими розділами математики.

Термін «комбінаторика» ввів Лейбніц, який у 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво».

Іноді під комбінаторикою розуміють більш широкий розділ дискретної математики, що включає теорію графів.

2. Алгебра подій в теорії ймовірностей - алгебра підмножин простору елементарних подій , елементами якого служать елементарні події.

Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина), замкнену відносно теоретико-множинних операцій, виконаних у скінченному числі. Достатньо щоб алгебра подій була замкнута відносно двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість відносно будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій, замкнута щодо скінченного числа теоретико-множинних операцій, називається сигма-алгеброю подій.

У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри та сигма-алгебри подій:

• алгебра кінцевих підмножин ;

• сигма-алгебра скінченних підмножин ;

• алгебра підмножин , утворена кінцевими об'єднаннями інтервалів;

• сигма-алгебра борелівських підмножин топологічного простору , тобто найменшасигма-алгебра, що містить усі відкриті підмножини;

• алгебра циліндрів в просторі функцій і сигма-алгебра, породжена ними.

. Алгебри та сигма-алгебри подій - це області визначення ймовірності . Якщо, то подіяназивається неможливою подією; якщо, то подіяназивается достовірною подією;

Подія або, полягає в тому, що з двох подійівідбувається принаймні одна, називається сумою подійі.

Будь–яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженій даною алгеброю подій.

3.Ймові́рність — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділу математики, що називається теорія імовірностей.

Сумою подій А і В називається подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробовування або події А, або події В, або обох разом.

Враховуючи означення суми двох подій і поняття несумісних подій, зауважимо, що сумою С двох несумісних подій А і В є подія, яка полягає в здійсненні або події А, або події В. Одночасна поява подій А і В виключена.

Теорема додавання імовірностей

Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірності цих подій

, якщо А та В несумісні (адитивність)

Сума імовірностей подій Ω = {ω₁, ω₂ , … , ω_n}, що складають повну групу (сукупність єдино можливих подій), дорівнює одиниці

.

Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці. Протилежними називають дві єдино можливі події, що складають повну групу

Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи

Принцип практичної неможливості малоімовірних подій: якщо випадкова подія має дуже малу ймовірність, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні подія не наступить. Цей принцип використовується при розв'язку практичних задач. Достатньо малу ймовірність, при якій (в конкретній задачі) подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості.

4. Теорема добутку імовірностей

Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій

Імовірність сукупної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку імовірностей даних подій

Імовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій 

Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, вирахувану у припущенні, що перша подія вже відбулася.

5. За класичним означенням ймовірність появи події шукають не проводячи ніяких дослідів, виходячи з теоретичних міркувань. На практиці часто доводиться мати справу iз статистичною ймовірністю. Її часто називають відносною частотою появи події i позначають

Р = ,

де m ‑ кількість випробувань, в яких подія А з'явилась,

n ‑ загальна кількість випробувань.

В дослідах статистична ймовірність коливається в околі деякого постійного числа, змінюючись мало, причому тим менше, чим більше проведено дослідів. Ця стала отримала назву класичної ймовірнocтi. Для існування статистичної iмовірнocтi необхідно:

1) мати можливість провести необхідну кількість випробувань, в кожному з яких подія А настане або нi;

2) наявність стійкості відносних частот появи події А в різних серіях достатньо великого числа випробувань.

6. Статистична ймовірність (the statistical probability) має властивості:

1) Р(А)0 це очевидно, оскільки m0;

2) для вірогідної події ;

3) якщо події А і В несумісні, то статистична імовірність події С=А+В дорівнює сумі статистичних ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Легко бачити, що формулою (1) можна користуватись лише у випадку скінченних m i n. Якщо m і nнескінченні, то класична імовірність вводиться аксіоматично. Класичною імовірністю Р(А) події А, яка визначається простором елементарних подій , називається числова функція, яка задовольняє такі умови:

1) Р(А);

2) ;

3) для несумісних подій А і В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

7. Формула повної імовірності

Докладніше: Формула повної ймовірності

Нехай подія А може настати при умові появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу. Нехай відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності події А.

Теорема: Імовірність події А, яка може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А: