Властивості

33.Полігон розподілу будується в прямокутній системі координат, при цьому на осі абсцис відкладається варіанта, а на осі ординат -частота або частість. За допомогою полігону розподілу, як правило, графічно зображуються дискретні варіаційні ряди (рис. 3, табл. 20). При побудові полігону для інтервальних рядів розподілу ордината, яка відповідає частоті (частості) встановлюється перпендикулярно осі абсцис у точці, що відповідає центру інтервалу.

34. Емпірична функція розподілу - це функція розподілу реалізації випадкової величини, яку будують за результатами вимірювань (спостережень).

Нехай маємо випадкову величину , де n - загальна кількість спостережень. Через позначимо випадкову величину, яка дорівнює кількості елементів вибірки значення яких менше x. Тоді емпірична функція розподілу буде задаватись як .

Для побудови таблиці значень емпіричної функції розподілу використовують такий метод. Спочатку всі результати спостережень впорядковують за зростанням й визначають їх ранги (порядкові номера в отриманої послідовності). Потім кожному спостереженню приводять у відповідність число .

Розрахунок середніх величин рядів розподілу

Середні величини розраховуються, як правило, для отримання узагальнених кількісних характеристик рівня певної варіаційної ознаки за сукупністю однорідних основних властивостей одиниць конкретного явища або процесу. У статистиці всі середні величини позначаються як .

Існує кілька видів середніх величин. Основною середньою величиною є середня степенева. Вона має такий вигляд: , де — середня величина,

 — змінна величина ознаки варіанти,

 — показник степеня середньої,

 — кількість ознак чи варіант.

В залежності від значення показника степеня середньої, вона приймає наступний вид:

• невиважена середня арифметична — коли :

;

• виважена середня арифметична — присутні частоти (або маси) :

.

Розрахунок моди й медіани

Особливим видом середніх величин, що стосуються рядів розподілу, є структурні середні. Вони застосовуються для вивчення внутрішньої будови й структури рядів розподілу значень ознаки. До структурних середніх величин зокрема належать мода й медіана. Мода — це величина ознаки (варіанти), яка найбільш часто зустрічається в даній сукупності; мода — це варіанта, що має найбільшу частоту. В інтервальному ряді розподілу моду можна знайти з допомогою наступної формули: де — мінімаальна границя модального інтервалу,

 — величина модального інтервалу (визначається за найбільшою з частот модальних інтервалів),

, , — частоти поточного, попереднього й наступного модальних інтервалів.

Медіана — варіанта, що перебуває в середині ряду розподілу. Вона ділить ряд на дві рівні (за числом одиниць) частини: зі значеннями ознаки, меншими за медіану, та зі значеннями ознаки, більшими за медіану. У випадку, коли варіаційний ряд має парне число значень варіант, то розрахунки медіани проводиться з допомогою наступної формули:  , де , — варіанти, що знаходяться всередині варіаційного ряду розподілу. В інтегральному ряді розподілу медіана знаходиться наступним чином:  , де — нижня границя медіанного інтервалу,

 — величина медіанного інтервалу,

 — півсума частот ряду,

 — сума накопичених позаду медіанного інтералу частот,

 — частота власне медіанного інтервалу.

Мода й медіана мають досить велике значення в статистиці й широке застосування. Мода є саме тим числом, яке в дійсності зустрічається найчастіше. Медіана має важливі властивості для аналізу явищ: вона виявляє типові риси індивідуальних ознак явища, враховує вплив крайніх значень сукупності. Медіана знаходить практичне застосування в маркетинговій діяльності внаслідок особливої властивості — сума абсолютних відхилень чисел ряду від медіани є найменшою величиною:  .

Як правило, мода й медіана відрізняються від значення середньої. Але у випадку симетричного розташування частот варіаційного ряду значення цих трьох величин можуть збігатися.

35. Дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величинивід свого математичного сподівання

Для дискретної випадкової величини дисперсія обчислюється за формулою

для неперервної знаходять інтегруванням

Якщо неперервна величина задана на інтервалі то дисперсія рівна інтегралу зі сталими межами інтегрування

36. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення

Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню математичного сподівання може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Наприклад. Закони розподілу двох випадкових величин і задані таблицями:

Обчислити математичне сподівання і 

Розв'язання. Знаходимо математичне сподівання за формулами

Отримали, що для двох різних законів розподілу математичні сподівання приймають однакові значення (0), при цьому можливі значення для випадкових величин і різняться. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань випадкові величини і мають тенденцію до коливань відносно та причому має більший розмах розсіювання відносно порівняно з випадковою величиною відносно . Тому математичне сподівання ще називаютьцентром розсіювання. Для визначення розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання

Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини завжди дорівнює нулю. В цьому легко переконатися із наступного співвідношення

Таки чином, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.

Точкові оцінки для математичного сподівання, дисперсії, асиметрії та ексцесу

Для вибірки обсягом N маємо незміщені оцінки математичного сподівання (арифметичного середнього), дисперсії, асиметрії, та ексцесу, відповідно:

 ^;                                                  (5.4)

 ^;                 (5.5)

 ^{;           .}                     (5.6)

Оцінка дисперсії є незміщеною; на відміну від формули, що визначає дисперсію, як середньоквадратичне відхиленнявід середнього, тут суму ділимо на (N – 1) замість N.

37-38 Кореляційно регресійний аналіз http://pidruchniki.ws/11570718/statistika/korelyatsiyno-regresiyniy_analiz

39. Станда́ртне відхи́лення або середнє квадратичне відхилення, позначається як S або σ. — у теорії ймовірності і статистиці найпоширеніший показник розсіювання значень випадкової величини відносно її математичного сподівання. Вимірюється в одиницях виміру самої випадкової величини.

По суті, якщо взяти прикладні задачі, то стандартне відхилення — це найбільш використовуваний індикатор мінливості об'єкта, що показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від їх середньої величини 

Обчислення

Середньоквадратичне відхилення — дорівнює кореню квадратному з дисперсії випадкової величини:

Відповідно до формул з обчислення дисперсії:

,

при невеликій вибірці (n<=40—-50)^[1] вводиться поправка Бесселя:

де:  — стандартне відхилення, незміщена оцінка средньоквадратичного відхилення випадкової величини X відносно її математичного сподівання;  — дисперсія;  — i-й елемент вибірки;  — середнє арифметичне вибірки: : 

• — обсяг (розмір) вибірки

Інтервальною оцінкою називають оцінку, що визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють визначити точність і надійність точкових оцінок.