2.2.Дифракция света на объектах различной формы

Дифракция плоской волны на щели. Амплитуда плоской волны, распространяющейся под углом θ к оси z равна (см. рис. 2.3)

E_θ=E₀ , где u= . (2.4)

а) б)

Рис. 2.3. Дифракция плоской волны на щели: а) ход оптических лучей; б) распределение освещенности.

Отсюда интенсивность стационарной дифракционной картины

I_θ= (2.5)

с максимумом в центре θ=0. Условие возникновения минимумов

. (2.6)

В зависимости от вида отверстия (щель, прямоугольник, круг) меняется характер дифракционной картины, однако общие черты явления сохраняются, например, увеличение угла расхождения дифрагированных лучей при уменьшении размеров отверстия.

Дифракция света на правильной структуре. Практически важная задача. Модельное представление состоит в учете взаимодействия пучков, дифрагировавших на многих однотипных отверстиях в непрозрачном экране. При этом дополнительный дифракционный эффект будет наблюдаться лишь при правильном их распределении, когда расстояние между отверстиями равны друг другу или изменяются по определенному закону. Только в этом случае (при когерентном освещении всей структуры) разность фаз между дифрагированными волнами будет сохраняться неизменной, и интерференционный член будет отличен от нуля.

Если отверстия расположены хаотично, то никакой постоянной разности фаз не будет, интерференционный член обратится в нуль, и складываются интенсивности всех пучков света, которые посылает в данном направлении каждое отверстие. Аналогичная ситуация имеет место при некогерентном освещении правильной структуры, так как и в этом случае разность фаз между дифрагировавшими пучками непостоянна.

Пусть имеется правильная структура из N, параллельных щелей с шириной каждой щели, равной b, и расстоянием между соседними щелями, равным d. Структуру такого типа называют дифракционной решеткой, а d – периодом решетки. На структуру падает плоская монохроматическая волна. Найдем интенсивность света I_θ, распространяющегося в направлении, составляющим угол θ с нормалью к плоскости, в которой лежат все N щелей (рис. 2.4).

n-я щель пошлет волну вида

. (2.7)

Рис. 2.4. Дифракция Фраунгофера на правильной структуре из N щелей.

Волны, образовавшиеся от всех щелей, когерентны, поэтому складываются напряженности электрического поля. При этом фаза результирующей волны учитывается автоматически

. (2.8)

Учитывая выражение (2.4) для амплитуды дифрагированной волны, а также воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для интенсивности света, распространяющегося под углом θ к нормали после дифракции на правильной структуре из N щелей

, где , . (2.9)

Множитель I₀ определяет интенсивность света, излучаемого в направлении θ=0, которая зависит от потока энергии, падающего на решетку света. Множитель характеризует распределение интенсивности в результате дифракции плоской волны на каждой щели, а множитель учитывает интерференцию между пучками, исходящими от всех щелей.

Если разность хода между волнами, испускаемыми двумя эквивалентными точками соседних щелей , равна целому числу волн , то колебания усилятся. Отсюда

= ,

получаем и .

Откуда

Окончательно получаем важный результат:

. (2.10)

Видим, что при выполнении условия интенсивность света, дифрагировавшего на системе из N щелей, возрастает не в N раз по сравнению с интенсивностью света, прошедшего через каждую щель, а в N ² раз. Это есть прямой результат интерференции дифрагировавших пучков, происходящей при дифракции на правильной структуре.

Если бы N щелей располагались хаотически, интерференционный член равнялся бы нулю и суммарная интенсивность была бы пропорциональна числу щелей неправильной структуры I~N.

В случае наклонного падения излучения на дифракционную решетку условие максимума интенсивности прошедшего излучения имеет вид

, (2.11)

где θ΄ есть угол направления пучка и направления нормали к решетке, а в случае отражательной дифракционной решетки

. (2.12)

Дифракционный метод измерения диаметра проволоки. Используя дифракционную картину, образующуюся при дифракции лазерного пучка на объектах малого размера, можно с высокой точностью измерять размеры этих объектов. В качестве примера рассмотрим процесс измерения диаметра проволоки.

Дифракционная картина от проволоки, помещенной на пути распространения лазерного пучка (диаметр которого превышает диаметр проволоки), представляет собой последовательность пятен, расположенных вдоль прямой линии, перпендикулярной оси проволоки (см. рис. 2.5а).

В центре проектируемой на экран картины находится пятно недифрагированного излучения, а в направлении, перпендикулярном к проволоке, располагаются пятна дифрагированного света, расстояние между которыми обратно пропорционально диаметру проволоки D и изменяется в соответствии с выражением

sin φ_n = nλ/D, (2.13)

где φ_n – угол между направлением на n-е пятно (считая от места расположения оси проволоки) и направлением лазерного пучка, а λ – длина волны лазерного излучения.

Приведенное соотношение можно использовать для определения D по результатам измерения расстояний между пятнами дифрагированного излучения (эти расстояния могут быть определены при помощи координатно - чувствительного фотоприемника, например, ПЗС-матрицы или линейки).

а

б

Рис. 2.5. Измерение диаметра проволоки: а) дифракционная картина при фиксированном диаметре проволоки; б) при уменьшающемся диаметре проволоки.

На рис. 2.5а приведена картина, получаемая при фиксированном диаметре проволоки, а на рис. 2.5б показано, каким образом изменяется приведенная картина при уменьшении диаметра проволоки. В последнем случае расстояние между пятнами возрастает.

На практике описанный метод позволяет измерять диаметры проволок или волокон порядка 0,0002-0,0003 см с погрешностью около 5%.

Основным достоинством данного метода измерений является отсутствие контакта измерительной аппаратуры с проволокой. Это позволяет контролировать диаметр проволоки в процессе вытяжки в реальном времени, поскольку дифракционная картина не изменяется при перемещении проволоки в продольном направлении.