56

Глава 5.Потоки событий

5.1. Основные определения. Классификация

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на АТС; поток отказов технической системы; поток самолетов, атакующих охраняемый объект; поток забитых шайб при игре в хоккей и др.

П оток событий наглядно изображается (см. рис 5.1) рядом точек с абсциссами с интервалами между ними

Конечно, на рис. 5.1 изображен не сам поток (он случаен), а одна из его реализаций. Термин “событие” в понятии “поток событий” совершенно отличен по смыслу от “случайного события” теории вероятностей. Событие в потоке не случайно, случаен момент его наступления. Случайны промежутки времени между событиями, число событий в пределах определенного отрезка времени и т.п.

Поток событий называется регулярным (неслучайным), если события наступают в определенные неслучайные моменты времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от выбора начала отсчета времени. Например, вероятность попадания того или иного числа событий на любой интервал времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где именно на оси времени он расположен.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный интервал времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью одного события. Ординарность потока означает, что события происходят по одиночке, а не группами.

Поток событий называется потоком без последействия, если число событий, попавших на любой интервал (см. рис 5.1) не зависит от того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с ним интервал.

Еще несколько определений.

Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ординарен и не имеет последействия.

Поток событий называется потоком Эрланга k-ого порядка, если он получен прореживанием простейшего потока, когда сохраняется каждое k-ое событие, а все промежуточные игнорируются.

Основной характеристикой потока событий является его интенсивность - среднее число событий в единицу времени. У стационарного потока интенсивность постоянна.

Другие характеристики потока событий:

- математическое ожидание интервала времени между событиямиЯсно, что

- дисперсия D(T) и среднее квадратическое отклонение промежутка времени между событиями;

- вариация промежутка времени между событиями .

Вариация может использоваться в качестве меры организованности потока событий. У регулярного потока v =0, у простейшего v=1. В остальных случаях (практически всегда) 0 < v<1.

5.2. Простейший поток событий

По определению простейший поток событий стационарен, ординарен и не имеет последействия. Этих его свойств достаточно, чтобы вывести законы распределения числа событий и промежутка времени между событиями.

Рассмотрим распределение числа событий X, приходящихся на отрезок времени t. Разобьем отрезок t на N малых промежутков длиною . Выберем N достаточно большим, чтобы в силу ординарности потока за время могло произойти не более одного события. Вероятность того, что за произойдет ровно одно событие можно вычислить, взяв отношение к математическому ожиданию промежутка времени между событиями.

Вероятность того, что за время не произойдет ни одного события обозначим . С точностью до бесконечно малого Поэтому

Теперь воспользуемся отсутствием последействия и определим вероятность того, что за время t, то есть за N промежутков произойдет ровно X=m событий. Для этого следует воспользоваться формулой биномиального распределения.

Искомое распределение числа событий найдем, совершив предельный переход при .

Рассмотрим пределы входящих сюда сомножителей.

Таким образом

(5.1)

Это распределение Пуассона. При выводе формулы не использовалось условие стационарности. Поэтому ординарные потоки событий без последействия называются пуассоновскими. Простейший поток - частный случай пуассоновского потока.

Итак, полученная формула определяет вероятность того, что случайное число событий X, которое может произойти за время t, будет равно m. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны

Перейдем теперь к рассмотрению распределения случайного промежутка времени T между двумя соседними событиями простейшего потока событий. Обозначим

- функция распределения случайной величины T;

- вероятность того, что за время t очередное событие не наступило.

- условная вероятность того, что очередное событие наступит в промежутке времени t при условии, что оно не наступило в предшествующий отрезок времени t.

- безусловная вероятность того, что очередное событие произойдет между моментами времени t и t+t.

Используя приведенные обозначения, запишем следующее равенство

.

Отсюда

Используя отсутствие последействия и свойство стационарности, найдем что,

Теперь для функции распределения получаем следующее дифференциальное уравнение.

Интегрируя его при начальном условии F(0) = 0, получим функцию распределения случайного промежутка времени между соседними событиями в простейшем потоке событий.

Дифференцируя это выражение, находим плотность распределения промежутка времени

(5.2)

Это известный экспоненциальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия промежутка времени соответственно равны

Следовательно, вариация v=1.

5.3. Поток Эрланга k-ого порядка

Т акой поток образуется из k-ого, 2k-ого, 3k-ого и т.д. событий простейшего потока. Поток 3-его порядка и способ его получения показан на рис. 5.2.

Промежуток времени между двумя соседними событиями потока Эрланга представляет собой сумму где - независимые случайные величины с экспоненциальным законом распределения

Математическое ожидание и дисперсия промежутка времени T, с учетом того, что слагаемые независимы (отсутствие последействия в простейшем потоке) таковы

Следовательно, вариация промежутка времени уменьшается с увеличением порядка k.

Повышение порядка прореживания уменьшает степень случайности интервала времени между событиями в потоке Эрланга.

5.4. Моделирование потока событий

В случайном потоке событий сами события не случайны, случайны моменты времени их наступления. Следовательно, имитация процесса, протекающего в системе, подверженной действию потока событий, сводится к моделированию течения времени и моделированию реакции системы на события. Остановимся на первом из этих двух вопросов.

Существует два основных метода задания времени: с помощью фиксированных и с помощью переменных интервалов времени. Их также называют методами фиксированного шага и шага до следующего события. По методу фиксированного временного шага отсчет системного времени ведется через заранее определенные временные интервалы постоянной длины (моделирование протекает в обычном времени с фиксированным шагом).

П ри использовании метода переменного шага, или шага до следующего события, состояние моделируемой системы обновляется с появлением каждого очередного события независимо от интервалов времени между ними (моделирование протекает во времени событий).

Рис 5.3 иллюстрирует способы управления временем в обоих случаях. Точками отмечены события в потоке, а стрелкамимоменты наступления событий в моделях. Ясно, что использование фиксированного шага сопряжено с появлением ошибок тем больших, чем больше шаг.

Каждый из двух способов имеет свои достоинства и недостатки, по-разному проявляющиеся в задачах разного типа. Поэтому не существует однозначных рекомендаций на выбор способа. Заметим лишь, что применение фиксированного шага облегчает синхронизацию при моделировании нескольких потоков событий и систем, состоящих из нескольких блоков.

Моделирование случайного потока событий с использованием метода переменного шага сводится к моделированию непрерывной случайной величины - промежутка времени между соседними событиями, заданного своим распределением. В простейшем потоке эта величина распределена экспоненциально (5.2). При использовании метода фиксированного шага моделирование заключается в жеребьевке значения дискретной случайной величины - числа событий в потоке, приходящихся на рассматриваемый интервал времени. В простейшем потоке эта величина распределена по закону Пуассона (5.1).

Ниже в качестве примера приведен фрагмент программы, моделирующей функционирование некоторой системы под воздействием двух потоков событий П1 и П2. В программе использованы идентификаторы:

L1, L2 - интенсивности потоков событий (L1 > L2);

T, Dt - время, шаг по времени;

N1, N2 - числа событий в потоках;

Tau - полное время функционирования системы;

Expnt - генератор непрерывной случайной величины с экспоненциальным распределением;

Puason - генератор дискретной случайной величины с распределением Пуассона.

- - -

- - -

T = 0

N1 = 1

do while (T .lt. Tau)

Call Expnt(Ix, L1, Dt)

T = T + Dt

Call Puason(Ix, L2, Dt, N2)

< Реакция системы на 1 событие потока П1 и

N2 событий потока П2>

end do

- - -

- - -

Как видно, в примере использован метод переменного шага.

Упражнения.

1. Объясните, как моделировалось течение времени в задаче об отражении атаки ракетной батареей ПВО (см. п. 2.6).

2. Как следует моделировать потоки событий в задаче о противоборстве соединения танков с вертолетами, вооруженными ПТУРами (см. соответствующую лабораторную работу).?