Глава 9. Модели массового обслуживания
9.1. Определения и классификация
Системой массового обслуживания (СМО) называется какая-либо система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих в систему в случайные моменты времени [7]. Время, требующееся для удовлетворения заявок также случайно. Теория СМО, или, как ее еще иногда называют, теория очередей, рассматривает математические модели, отражающие наиболее общие закономерности функционирования систем. Эти модели оперируют временными ресурсами, которые затрачиваются системами при выполнении предписанных им функций. Этим объясняется широкая область применения моделей массового обслуживания: сфера бытового обслуживания, информационно-вычислительные системы, противовоздушная оборона и др.
СМО принято классифицировать по различным признакам. Так по числу параллельно работающих каналов (линий, приборов и т.п.) обслуживания СМО делят на одноканальные и многоканальные. Различают СМО, допускающие образование очередей, и СМО с отказами. По характеру очереди могут быть ограниченными и неограниченными. Ограничение очередей может быть по длине или по времени пребывания в них.
Возможна различная дисциплина обслуживания: обслуживание без приоритета и с приоритетом. Приоритет может быть абсолютным (обслуживание вне всякой очереди) и относительным (обслуживание вне очереди, но только после освобождения канала).
По характеру взаимодействия с окружающей средой СМО делятся на открытые (взаимодействие отсутствует) и замкнутые (состояние СМО влияет на интенсивность потока заявок).
Наконец, среди систем массового обслуживания выделяют простейшие СМО. Поток заявок в таких системах является простейшим, а время обслуживания случайно и распределено экспоненциально.
К основным характеристикам СМО относятся:
k- число каналов обслуживания;
l- число мест в очереди;
λ-интенсивность потока заявок;
μ- производительность одного канала СМО.
Для оценки эффективности работы СМО используют следующие показатели:
A- абсолютная пропускная способность;
Q =A/ λ- относительная пропускная способность, иначе, вероятность обслуживания заявки;
Pотк = 1 -Q- вероятность отказа в обслуживании;
zср- среднее число заявок,находящихся в системе;
kср- среднее число занятых каналов;
lср - средняя длина очереди;
zc- среднее время пребывания заявки в системе;
lож- среднее время ожидания в очереди;
μоб- среднее время обслуживания заявок.
Все усредненные характеристики относятся ко всем заявкам в том числе и тем, которые не были обслужены или даже не поставлены в очередь.
9.2. Формула Литтла
Формула Литтла связывает между собой среднее число заявок, одновременно находящихся в СМО, zср, со средним временем c пребывания заявки в системе.
Рассмотрим произвольную открытую систему и два потока событий:
- поток заявок, поступающих в СМО, и
- поток заявок, покидающих СМО как после обслуживания, так и из-за отказа в обслуживании.
Обозначим:
X(t)- суммарное число заявок, поступивших в СМО ко времени t. Это случайная функция времени.
Y(t)- суммарное число заявок, покинувших СМО к тому же моменту времени - тоже случайная функция.
Z(t)=X(t)-Y(t)- количество заявок, находящихся в СМО на обслуживании и в очереди.
Рис. 9.1.
На рис. 9.1 показаны графики реализаций случайных функций X(t) иY(t). Участок А соответствует отсутствию заявок в системе, участок В - случаю, когда все каналы обслуживания и места в очереди заняты. Среднее за время T число заявок в системе равно
Входящий сюда интеграл равен площади на рис. 9.1 между ступенчатыми линиями X(t)иY(t). Эта площадь состоит из прямоугольников с высотой 1 и основаниемτi- временем пребывания заявки в системе. Следовательно,
Здесь n = λ T- число заявок, поступивших в систему за времяT. В это число входят и те заявки, которые не были даже поставлены в очередь. Дробь в правой части последнего выражения - это среднее время пребывания заявки в системе. Поэтому формула Литтла имеет следующий вид.
Поступая аналогично, можно получить еще две формулы.
