Бызов Л.Н. Моделирование случайных процессов / выполненые лабораторные работы в MATHCAD / MD_DOC / ХИ_КВ

Проводя графическое сравнение полигонов и гистограмм с кривой распределения, можно составить себе, по крайней мере с качественной стороны, представление о большей или меньшей близости теоретического и эмпирического распределений. Рассмотрим критерии проверки по данным выборки гипотезы о том, что данная величина X подчинена закону распределения F(x).

Рассмотрим применение одного из наиболее употребительных критериев—критерия χ² (К. Пирсона). Допустим сначала, что наша гипотеза полностью определяет вид функции распределения F (x), (т.е. известны параметры распределения). Такая гипотеза называется простой. Пусть, далее, вся область изменения величины разбита на конечное число m множеств Δ₁, Δ₂, ..., Δ_m, например, m интервалов. Пусть p_i; есть вероятность для величины X при данном распределении F (x) принять значение, принадлежащее i-му множеству Δ_j;, n_j—число значений X из общего числа их N в выборке), попавших в Δ_j;. При этом, очевидно, должны выполняться условия

Если проверяемая гипотеза верна, то n_j представляет частоту появления события, имеющего в каждом из N произведенных испытаний вероятность p_i; следовательно, мы можем рассматривать n_j, как случайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону распределения с центром в точке n p_i и средним квадратическим Когда N велико, можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметрами. При правильности нашей гипотезы мы можем ожидать, что будут асимптотически нормально распределены (в совокупности) также величины

. (*)

Для практических приложений часто удобно использовать следующее легко выводимое равенство:

Эти оценки зависят от выборочных характеристик и s. В качестве критерия соответствия в данном случае рассматривают величину

где — оценки вероятностей для каждой j - й группы, j = l, 2,..., m, на которые подразделено наше распределение.