13 Вопрос

Дифференцирование сложных функций.

Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:

z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.

Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:

dz/dt = z/xdx/dt+ x/ydy/dt [**]

Док-во: Дадим переменной t приращение t, при этом х=х(t) получит приращение х, а у=у(t)  у, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение z, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:

z=z/xx + z/yy + 

разделим на t и перейдем к пределу

Lim(t0)z/t = z/xLim(t0)x/t +

+ z/yLim(t0)y/t + Lim(t0)/t

dz/dt = z/xdx/dt + z/ydy/dt + Lim(t0) //t  0

=x²+y^2

Lim(t0)/=0 - по определению дифференциала.

Lim(t0)/t = Lim(t0)(x/t)²+(y/t)^2=

=(dx/dt)²+(dy/dt)^2

Формула [**] доказана.

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Опр. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .

F(x,y,z)=0

x+y+z=e^z - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.

x²+y²+z²=0 - не задает никакой функции.

Теорема: Если ф-я F(x,y,z)  непрерывна в т. р₀(x₀,y₀,z₀) и ее производная по z F_z(x,y,z)0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам:

z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z)

z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz

F(x₀,y₀,z₀)=0dF=0

F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0

dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**)

Сравнивая (*) и(**) 

z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z)

z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)

14 Вопрос

15 Вопрос

Экстремум функции двух переменных.

 z = f(x, y)

Пусть эта функция определена в точке Р₀(x₀, y₀) принадлежащей некоторой области D и   P(x, y)D, D – область определения функции f(x, y)

 f(x, y) достигает в точке P₀(x₀, y₀) max, если для всех P(x, y) принадлежащих окрестности точки P₀(x₀, y₀)  f(P₀)  f(P)

 f(x, y) достигает в точке P₀(x₀, y₀) min, если для всех P(x, y) принадлежащих окрестности точки P₀(x₀, y₀)  f(P₀)  f(P)

Точки максимума и минимума  называют точками экстремума функции

 Необходимые условия существования экстремума.

 Если f(x, y) достигает в точке P₀(x₀, y₀) экстремум, то в точке P₀(x₀, y₀) 

,  , в предположении, что они существуют, либо, если функция в точке P₀ определена, а хотя бы одна из частных производных первого порядка в точке P₀ не существует. Например, у функции   - экстремум есть, а частные производные не существуют в точке (0; 0).

; 

С помощью необходимых условий находятся точки, в которых возможно существование экстремума. Однако, если в этих точках не выполняется достаточное условие существования экстремума, то они не являются точками экстремума, а называются стационарными.

 

Достаточные условия существования экстремума.

 

Если в точке Р_о выполнено необходимое условие существования экстремума и в точке Р_о(х_о,у_о) существуют частные производные второго порядка 

Если

1)       ∆>0, то в точке Р_о – экстремум, причем:

                если А<0 - максимум

                если А>0 - минимум

2)       ∆<0, то в точке Р_о – экстремума нет

3)       ∆=0, то требуются дополнительные исследования.