1-2 вопрос

Функцией двух переменных называется правило или закон, по которому каждой паре чисел (х; у)D соответствует единственное zE. 

 х и у – независимые переменные D; z – зависимая переменная E. Между переменными х и у и в зависимости от их изменения переменной z существует функциональная зависимость, т.е. изменение двух переменных х и у влечёт за собой изменение переменной z. Тогда х,у – аргументы, а z – функция: z=f(x;y),                                                D – область определения z=f(x;y), Е – область значений z=f(x;y)

А налогично, если x, y, z – независимые переменные, а их изменение влечёт за собой  изменение зависимой переменной u, то закон (правило), по которому происходит эта функциональная зависимость, называется функцией трёх переменных.U=f(x;y;z) (2)

И, в общем, если x, y, z, …, t – n независимых переменных, а U – (n+1) зависимая переменная, то U = f(x; y; z; …;t) – функция нескольких переменных, n переменных.(3)

Так как (х, у) – координаты точки МD, то z =  f(x, y) = f(M). Аналогично, если                   (x, y, z, …,t) – координаты т.М в n – мерном пространстве, то U=f(M) – функция зависящая от n – переменных.

Способы задания функции нескольких переменных: аналитический, графический, табличный.

1.  Аналитический. Функция задаётся явно, в виде формулы z=f(x; y), либо неявно           F(x; y; z) = 0. Например: Z = ln(x² + y² – 1) или z²+ax³+lg y = 1

Областью определения функции двух переменных называется множество точек (х, у), удовлетворяющих заданию функции, как правило, это область на плоскости ХОУ.

Например: Z = ln(1- x² - y² ),

D(z): 1 – x² – y² > 0, x² + y² < 1, т.е. областью определения является круг с центром в начале координат и радиуса 1, причём точки, лежащие на окружности не входят в область.

 
2. Геометрический. Графиком функции двух переменных z=f(x; y) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность. Например. Верхняя часть эллипсоида   является графиком функции , ,а нижняя его часть графиком функции 

Множество граничных точек образуют границу области. Если граница принадлежит области, то область называется замкнутой., если не принадлежит, то открытой. Если область можно заключить в круг некоторого радиуса, то область называется ограниченной, если нельзя, то неограниченной

3 Вопрос

Как известно, функция одной переменной геометрически изображается на плоскости в виде линии, определенной уравнением y f x = ( ). Подобным же образом функция двух переменных геометрически изображается в пространствеR^3 в виде поверхности, определенной уравнением z f x y = ( , ), т.е. сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.

Пусть функция z  = f (х, у)     определена в некоторой области D на плоскости хоу.

Множество точек P (х, у, f (х, у)), определяемое уравнением (1), является геометрическим  образом функции двух переменных –  это поверхность, которая проектируется в область D (см. рис. 1).   Точка М является проекцией точки Р.

4 Вопрос

Дадим независимой переменой x приращение Дельта x; тогда  z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначают через:

D_xz=f(x+Dx,y) –f(x,y).

Аналогичным образом при пересечении поверхности плоскостью x=const получаем частное приращение z по y:

D_yz=f(x,y+Dy) –f(x,y).

Сообщив приращение аргументу, а аргументу yÞD y получаем новое Дельта z, которое называется полным приращением функции z:

Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

5 Вопрос

Определение 2. Окрестностью точки M₀ (x₀,y₀) радиуса r называется совокупность точек М(х, у),   лежащих внутри круга радиуса r , с центром в точке M₀:

6 Вопрос

Число А называется пределом функции  f (х, у) при стремлении M(x,y)   к M₀(x₀,y₀),  , если для всякого, как угодно малого   существует (или найдётся) число   такое, что для всех  точек (х, у), для которых выполняется неравенство  , выполняется неравенство  .

Обозначение:  или  .

7 Вопрос

Функция f (х, у) называется непрерывной в точке M₀(x₀,y₀), если она определена в точке и некоторой  её окрестности    или    Введём обозначения: ,  ,  ,  .Функция f(x,y) непрерывна в точке (x₀,y₀), если   или  Иначе говоря, функция z  = f (х, у) непрерывна в точке M₀(x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.

8 Вопрос

Свойства непрерывных функций:

1.Алгебраическая сумма и произведение конечного числа непрерывных в данной точке функций есть непрерывная функция в этой  точке. Частное двух непрерывных функций в точке, при условии, что знаменатель отличен от нуля в этой точке, также есть непрерывная функция в этой точке.

2,Непрерывность сложной функции

Пусть   и   непрерывны в некоторой точке  и пусть  непрерывна в  точке  пространства  , соответствующей точке  P₀, тогда такая функция v будет непрерывна в точке P₀.

3, Если  z=f(x,y)=f(M)   непрерывна в замкнутой области , то функция z :

1) ограничена в области  ;

2) принимает в   свои наименьшее и наибольшее значения;

3) если в двух точках А и В области D функция принимает неравные значения, то она принимает и всякое промежуточное  между ними значение по крайней мере в одной точке любой кривой, соединяющей точки А и В и целиком лежащей в области D . В частности, если f(A) и f(B) –  числа противоположных знаков, то функция f(M)   обращается в нуль по крайней мере в одной   точке любой упомянутой кривой;

4. свойство равномерной непрерывности: при всяком  найдётся такое число  , что для любых двух точек                  А и В области D, расстояние между которыми меньше  , будет справедливо неравенство