2.Определение внутренних усилий в статически неопределимых конструкциях на примере двухшарнирной рамы.
Статически неопределимой называют такую систему, которая не может быть рассчитана по методу сечений с использованием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лишними связями. В качестве лишних следует принимать те связи, которые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превратить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую систему.
Главной особенностью статически неопределимых систем является наличие лишних связей в их структуре. Лишние связи сооружений можно удалять, не нарушая их геометрической неизменяемости. Например, удалением опорных вертикальных связей В и С неразрезная балка преобразуется в консольный стержень, введением цилиндрических шарниров K и L – в статически определимую двухпролётную составную балку (рис. 6.1,а). Удалив из статически неопределимой фермы стержень 14 или 34, получим два варианта статически определимой шарнирно-стержневой системы с простой структурой (рис. 6.1,б). Статически неопределимая двухшарнирная рама после удаления горизонтальной связи опоры В превращается в ломаный стержень, прикреплённый к диску "земля" шарниром А и вертикальной связью, ось которой не проходит через шарнир А. Введением цилиндрического шарнира С эта же рама преобразуется в статически определимую трёхшарнирную раму (рис. 6.1,в).
Особенностью всех лишних связей, удалённых из статически неопределимых систем, показанных слева на рис. 6.1, является то, что реакции в них от внешних воздействий с помощью уравнений статики определить нельзя. Эти связи называются условно необходимыми. Вместе с тем, в составе рассмотренных сооружений имеются связи, усилия в которых определяются из условий равновесия: горизонтальная связь опоры А неразрывной балки (рис. 6.1,а), стержни А2,23, А1, А3 фермы (рис. 6.1,б), вертикальные связи пятовых шарниров А и В рамы (рис. 6.1,в). Такие связи называются абсолютно необходимыми. Их удаление превращает заданное сооружение в геометрически изменяющую или мгновенно изменяемую систему.
Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.
Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет только лишние внешние связи, т.е. лишние опорные закрепления. Примером внешне статически неопределимой плоской системы является трехпролетная рама (рис.6.2).
Степень статической неопределимости системы С легко установить путем вычитания из общего числа опорных стержней m число стержней, необходимых для сохранения геометрически неизменяемого прикрепления системы (одно - для одномерных; три - для плоских и шесть - для пространственных систем).
Для плоской рамы, изображенной на рис.6.2, учитывая, что защемление эквивалентно трем опорным стержням, получаем:
m = 3 + 2×2 +1 = 8; C = m - 3 = 8-3 = 5,
т.е. данная система 5 раз статически неопределима.
Внутренне статически неопределимой называют систему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.
Двухопорная рама с затяжкой (рис.6.3, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис.6.3, б) получена из заданной (рис.6.3, а) путем разрезания затяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется только одной неизвестной осевой силой N1 . Следовательно, в статически определимой системе, изображенной на рис.6.3, б имеем одно лишнее неизвестное N1 , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система (рис.6.3, а) является один раз статически неопределимой.
Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис.6.4, а, то получим трижды статически неопределимую систему.
Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ac и bc характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N1, Q1, M1 (рис.6.4, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис.6.4, a является три раза внутренне статически неопределимой.
Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замкнутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следовательно, если плоская система содержит n замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3×n раз статически неопределима.
Отметим следующие основные свойства статически неопределимых систем.
1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически определимой системой оказывается более жесткой, а при идентичном характере нагружения значения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.
2. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе. То есть статически неопределимые сооружения обладают большей надёжностью по сравнению со статически определимыми.
3. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
4. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
5. В статически неопределимых системах от температурных и кинематических воздействий реакции условно необходимых внешних и внутренних связей не равны нулю. Покажем это на примере определения реакций опорных связей двухшарнирной рамы с пятовыми шарнирами на разных уровнях (рис. 6.5). Пусть температура со стороны внутренних волокон элементов рамы изменилась на , а горизонтальная и вертикальная связи левой шарнирно-неподвижной опоры сместились соответственно на и . Условия равновесия рамы имеют вид:
, HB – HA = 0,
, VA – VB = 0,
, HB × a + VB × ℓ = 0.
Полученная система трёх уравнений, содержащая четыре неизвестных, в общем случае имеет ненулевые решения. От реакций шарнирно-неподвижных опор в сечениях рамы возникнут изгибающие моменты, поперечные и продольные силы. Таким образом, в отличие от статически определимых систем в статически неопределимых системах от температурных и кинематических воздействий имеют место не только перемещения, но и деформации, вызывающие внутренние усилия.
Б.12.
Б.12