8.Непрерывность функций. Точки разрыва, их классификация.

①Функция y=f(x)- непрерывная в т.x0,если она удовлетвор. 3-м условиям:

1)функция определена в т. x0

2)при x-> x0 функция имеет конечный предел

3)данный предел = значению функции в т. x0 lim f(x)=f(x0) при x-> x0 (*)

Если в (*) существуют односторонние пределы, т.е. lim f(x)=f(x0) при x-> x0+0

и lim f(x)=f(x0) при x-> x0-0,то говорят, что f(x) –непрерывна слева или справа в т.x0

Cв-ва непрерывности функции в данной точке x0 выражаются непрерывностью графика в этой точке.

②т.x0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если функция в этой точке не является непрерывной.

Различают несколько типов т. разрыва:

1)Точки разрыва I рода , f(x),- имеет односторонние пределы, но они не равны между собой

2)Точки разрыва II рода.Если хотя бы один из односторонних пределов =∞ или не существует.

Среди точек I рода можно выделить так называемые точки устранимого разрыва: точки, в которых существует предел функции, но он ≠ значению функции в этой точке.

Замечание.

Cв-ва функций непрерывных в точке.

Пусть заданы f(x) и g(x) непрерывные в т. x0, тогда

1)f(x) + g(x)-

f(x) * g(x)- все являются непрерывными в т.x0

f(x) : g(x)-

2)Если y=f(x)- непрерывная в т.x0 и значение f(x0)>0, то существует такая окрестность т.х0, в которой f(x)- явл. положительной.

3)Если y=f(u)-непрерывна в т.u0=ϕ(x), a u=f(x)- непрерывна в т.х0, то y=f(ϕ(x))-непрерывна в т.х0.

Из 3 св-ва =.>,что под знаком сложной функции можно переходить к lim

lim f(ϕ(x))= f (limϕ(x)) при x-> x0

③Функция y=f(x)- непрерывна на промежутке (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны на D(y)

9.Cв-ва функций, непрерывных на отрезке.

1) Если y=f(x)-непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем сверху и снизу,т.е. существуют такие числа M и m,что для всех x€ [a,b], справедливо неравенство m<=f(x)<=M

( I теорема Вейерштрасса)

2)Если y=f(x)-непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m, и наибольшего М (II теорема Вейерштрасса)

3)Если y=f(x)-непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка имеет значения противоположных знаков, то внутри отрезка [a,b] найдется такая точка С, что значения функции в ней будут =0( теорема Больцано-Коши)

Функция y=f(x)-называется равномерно-непрерывной на отрезке [a,b], если для любого, сколь угодно малого ε >0 найдется такое δ>0, δ=δ(ε), что для x1,x2€[a,b] удовлетв. |x1-x2|<ε

Теорема Кантера: Если y=f(x)-непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно-непрерывна на нем.