Вопрос 5. Предел функции, основные теоремы о пределах.

Пусть задана у=f(х). А – предел функции при х а , если сущ. Е>0 найдется ƅ= ƅ(Е)>0 (положит.дельта,зависящая от Е) такое, что выполнение неравенства /х-а/<Е влечет за собой выполнение неравенства /f(х)-А/<Е. А =

Эквивал.опред.: Т.к. ф-я у=f(х) задана на облюопред.,то обл.опред. представлена множеством Х.

Д(у): Х: х1,х2…хn, т.е. есть некая последовательность

Е(f): У: f(х1), f(х2)… f(хn) следовательно ). А – предел функции при х а , если сходимость последов. хn а влечет f(хn) а

Геометрически А – предел функции при х а, если сущ. Е>0 найдется ƅ окрестностьт.а, что сущ. х не равное а из этой окрестн.соответствуют ординаты гр. f(х) будут заключены в полосе А-Е <f(х)<А+Е

Число а может быть как конечым, так и бесконечным. Если а то определение предела остается справедливым, только будет выглядеть А – предел функции при х , если сущ. Е>0 найдется ƅ= ƅ(Е)>0, что /х/> ƅ влечет /f(х)-А/<Е

Помимо определения предела у функции можно определить односторонние пределы, т.е. слева и справа.

Если х а : х<а предел слева, х>а – справа. Бывает, что они совпадают. И бывает, что не равны.

1.Предел постоянной величиныравен самой постоянной величине.

2. Если заданы две функции, от имеют пределы.То предел суммы-разности этихфункций будет равен сумме-разности этих функций.

3. Аналогично с умножением и делением(при знаменателе не равном нулю)

Признак: Если числ.послед. монотонна и ограничена,то она имеет предел.

Вопрос 6. 1ый и 2ой замечательные пределы.

1ый зам.предел = 1 ( )

2йо зам.предел = е (или поменять местами степень и дробь) е = 2,718

Применение 2ого предела.

2зам.пред. используется при решении задач о непрерывном начислении процентов – является эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности – при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Пусть первонач.вклад составляет Qо ден.ед. Банк выплачивает р% годовых. Проценты по вкладу начисляются n раз в год. Тогда размер вклада Qt (наращ.капитал) через t лет вычисляется по формуле сложных %.

Qt = Qo Qo где I – годовая % ставка

При непрерывном начислении %, когда n- наращ.капитал Qt можно вычислить через предел. Qt =

Используя формулу 2ого зам.предела, найдем Qt. Qo – величина постоянная, поэтому

= = = = =

Qt = = Qo * !!!

7.Бесконечно малые, бесконечно большие величины

① α(x)-б.м.в, если ее предел =0

Св-ва:

1)Если α1(x), α2(x) б.м.в. => б.м.в. будут :

• α1(x)+- α2(x)

• с* α1(x), с-const,

• f(x)*α1(x), где f(x)-ограниченная

• α1(x)*α2(x)

• α1(x)/f(x),если lim f(x) ≠ 0 при x-> a

2)б.м.в.- можно сравнивать

Если б.м.в. α1(x), α2(x) и lim α1(x)/α2(x) = k, то

• Если k =0 , то б.м.в. α1(x) более высокого порядка, чем α2(x)

• Если 0< k <∞, то б.м.в. α1(x), α2(x) одного порядка малости

• Если k =∞ , то б.м.в. α1(x) более низкого порядка, чем α2(x)

• Если k=1, то б.м.в. α1(x), α2(x) эквиваленты

Примеры эквивалентных б.м.в.:

При x-> 0 sin(x)~x, ln(1+x)~x, arcsinx~x

② β(x)- б.б.в., при x-> a, если для любого сколь угодно большего М> 0 найдется такое δ=δ(М), δ>0 , что для любого x≠a, и |x-a|<δ выполняется:

|β(x)|>M

Cв-ва:

1)Если β(x)- б.б.в. при x-> a,то б.б.в. будут:

• β(x)*ϕ(x), где ϕ(x)-ограниченная

• β(x)+-ϕ(x),

• β(x)/ϕ(x), если lim ϕ (x) ≠ 0 при x-> a

2)б.б.в.- можно сравнивать

Если β1(x), β2(x)-б.б.в. и для любого lim β1(x)/β2(x)=k,то при

• 0< k <∞ , то β1(x), β2(x)-имеют одинаковый порядок роста

• k=∞, то β1(x) имеет более высокий порядок роста, чем β2(x)

Связь б.м.в. и б.б.в.:

1)если α(x)-б.м.в.,то β(x)=1/ α(x) при x-> a является б.б.в.

2)если β(x)-б.б.в,то α(x)=1/ β(x) является б.м.в.