Програма до вступного іспиту з прикладної математики на окр магістра та спеціаліста 2012

1.Математичний аналіз

Межа функції (визначення по Коші і по Гейне). Визначення безперервності функції в точці. Теореми Вейєрштрасса і Больцано - Коші про функції, безперервних на відрізку. Рівномірна неперервність, теорема Кантора. Дифференційованіть і похідна дійсної функції дійсного змінного. Геометричний зміст похідної. Основні теореми про диференційовні функції (теореми Ферма, Ролля, Лагранжа). Формула Тейлора із залишком у формі Пеано, у формі Лагранжа. Визначення інтеграла Рімана. Інтегровність монотонних і безперервних функцій. Існування первісної у безперервної функції. Формула Ньютона - Лейбніца. Числові ряди. Основні ознаки збіжності (ознака порівняння, Даламбера. Коші, інтегральна ознака) для рядів з невід'ємними членами. Ознака Лейбніца. Поняття абсолютної та умовної збіжності.

2.Диференціальні рівняння

Задача Коші для диференціального рівняння першого порядку. Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Лінійні однорідні звичайні диференціальні рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами. Метод Ейлера. Лінійні неоднорідні звичайні диференціальні рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами. метод Лагранжа

3.Рівняння математичної фізики

Формулювання крайової задачі Штурма-Ліувілля. Звести задачу Штурма-Ліувілля до інтегрального рівняння. Властивості власних значень і власних функцій задачі Штурма-Ліувілля. Довести теорему розкладання Стеклова. Функція Гріна одновимірної крайової задачі. (В чому відмінність від фундаментальної функції). Довести теорему єдиності для функції Гріна. Дати визначення самосопряженної крайової задачі. Довести симетричність функції Гріна для самосопряженної крайової задачі. Дати визначення фундаментальної та базисної систем рішень для одновимірної крайової задачі. Довести теорему існування для функції Гріна.

4.Теорія ймовірностей

Дискретне простір елементарних подій. Операції над подіями. Класичне визначення ймовірності. Властивості ймовірності. Умовні ймовірності. Незалежні події та їх властивості. Випадкові величини. Функція розподілу випадкової величини та її властивості. Числові характеристики випадкових величин: математичне сподівання, дисперсія та їх властивості. Ланцюги Маркова. Матриці переходу за один і к-кроків для однорідного ланцюга Маркова.

5.Функціональний аналіз

Лінійні оператори в лінійних нормованих просторах. Лінійне простір лінійних операторів (обмежених) . Абстрактні ряди Фурьє в Н. Теорема Рисса – Фішера. Теорема Гіильберта – Шмидта .

6.Аналіз данних

Інформаційні та аналітичні моделі. Учасники процесу аналізу даних. Формалізація даних. Основні етапи KDD. Класи задач, що вирішуються методами Data Mining. Алгоритми Data Mining - асоціативні правила. Характеристики значущості асоціативного правила. Аналіз рядів динамік. моделі прогнозування.

7.Випадкові процеси

Випадкові процеси марківського типу. Рівняння Колмогорова. Процеси не залежать від майбутнього. Теорема Колмогорова-Прохорова. Тотожність Вальда. Коваріація та кореляція випадкового процесу. Взаємна коваріаційна і кореляційна функції випадкових процесів Похідна та інтеграл від випадкового процесу

8.Теорія функцій комплексної змінної

Інтегральна теорема Коши. Інтегральна формула Коши. Визначення лишку (вычета). Теорема про лишки. Обчислення лишку у разі полюса.

9.Обчислювальні методи

Теорема про LU-розкладання матриці. Метод Гауса. PLU-розкладання невиродженої матриці. Метод Гауса з частковим (повним) вибором головного елемента. Метод простої ітерації розв’язування СЛАР, необхідна й достатня умова збіжності. Метод Ньютона розв’язку нелінійних рівнянь. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Залишковий член інтерполяційного багаточлена. Інтерполяційний багаточлен Ньютона з розділеними різницями. Залишковий член інтерполяційного багаточлена. Квадратурні формули Ньютона-Котеса (прямокутників, трапеції, Сімпсона).

10.Моделювання екологічних, економічних та соціальних процесів

Загальне уявлення про системний аналіз, як про методологічну основу вивчення систем.

Класифікація, типи і приклади моделей. Поняття стійкості в математиці та в екології.

11.Обчислювальна геометрія і комп’ютерна графіка

Розкладання в растр. Математична основа растрового розкладання в алгоритмі Брезенхема. Критерій ініціалізації пікселя в цьому алгоритмі. Алгоритми заповнення областей. Задача побудови кривих по контрольним точкам. Відсікання відрізків і багатокутників. Дискретизація зображень. Теорема Найквіста-Котельникова. Теорема Найквіста-Котельникова. Аліасінг зображень. Фільтрація зображень.

12.Теорія керування

Найпростіша задача термінального керування. Принцип максимуму Понтрягіна. Голчаста варіація. Приріст траєкторії і функціоналу на голчастою варіації (з доказом). Властивості функції Гамільтона вздовж екстремальних управлінь (одне з них з доказом). Оптимальне керування в лінійних системах. Керованість. Необхідна і достатня умова керованості. Екстремальні траєкторії.

13.Методи оптимізації

Завдання лінійного програмування: їх типи; поняття плану; графічне рішення ЗЛП.

Симплекс-метод для ЗЛП у стандартній формі. М-метод для ЗЛП в загальному вигляді.

Методи побудови початкового плану і метод його поліпшення: метод північно-західного кута; метод мінімального елемента; метод потенціалів. Ускладнені постановки ТЗ: обов'язкові і заборонені перевезення, обмеження на пропускну здатність, завдання зі складами, ТЗ в мережевий постановці. Основна теорема опуклого програмування Куна-Таккера (з доказом необхідності).