Л.В.Гончарова. Учебно - методическое пособие по строительной механике. Расчет шарнирно-консольных балок на постоянную и

Критерий опасного положения нагрузки

Треугольная линия влияния (рис. 2.6, а):

перемещение нагрузки влево ,

перемещение нагрузки вправо

Многоугольная линия влияния (рис. 2.6,б):

где Rлев. и Rпр. – соответственно значения равнодействующих нагрузки слева и справа от вершин линии влияния; Fкр – величина груза над вершиной линии влияния; Fi – сосредоточенные грузы, расположенные над линией влияния,

включая критический груз; – угол наклона i-го участка линии влияния;

Рис. 2.6. Схема загружения линий влияния при определении усилий от подвижной

нагрузки

•после выявления опасного положения нагрузки подсчитывают ординаты линии влияния под грузами и вычисляют наибольшее усилие:

;

•если при установке нагрузки какой-либо груз выходит за пределы линии влияния, то он исключается из рассмотрения;

•при наличии нескольких вершин линии влияния следует находить опасное положение нагрузки для каждой вершины линии влияния и выбрать то, которое даёт Jmax;

•для двузначной ЛВ из двух значений Jmax для каждого знака выбирается набольшее по абсолютной величине;

•если подвижная нагрузка проходит по сооружению в двух направлениях, то необходимо учитывать оборачиваемость нагрузки, то есть определять два раза расчётное положение нагрузки и

соответствующие им расчётные значения Jmax в зависимости от направления движения нагрузки.

Направление движения нагрузки не играет роли при симметричной загружаемой части линии влияния и при любом её виде, если грузы одинаковы по величине и расположены на равных расстояниях друг от друга.

Эквивалентная нагрузка

Эквивалентной нагрузкой называется такая равномерно-распределенная по длине однозначного участка линии влияния нагрузка, которая вызывает такое же усилие, как и соответствующая ей система сосредоточенных грузов, установленных в опасном положении.

; ,

где qэкв. – интенсивность эквивалентной нагрузки, кн/м.

Для треугольной линии влияния qэкв зависит:

•от длины нагружаемого участка L или основания треугольника;

•от положения вершины линии влияния : .

Однако эквивалентная нагрузка постоянна для различных линий влияния с неодинаковыми значениями высоты h, но при равных длинах L и одинаковом положении вершины. С учётом этого свойства для треугольных линий влияния составлены таблицы эквивалентных нагрузок.

Таблица эквивалентных нагрузок для автодорожных мостов НК-80 приведена в прил. 2.

3. МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЁТА ШАРНИРНО-КОНСОЛЬНЫХ БАЛОК

Матрицы используются для определения усилий в сложных системах, нахождения перемещений и, в частности, для отыскания усилий по линиям влияния и единичным эпюрам от системы сосредоточенных грузов.

Матрицей А называется упорядоченная таблица чисел, элементов a i j размерностью из m строк и n столбцов (). Если m = n, то матрица – квадратная.

Матрица в виде одного столбца n =1 – матрица-столбец.

При m =1 имеем матрицу-строку.

Матрицей влияния усилия L называют таблицы, составленные в определённом порядке из ординат линий влияния или единичных эпюр усилия.

Квадратная матрица Lm, размером , элементами которой являются изгибающие моменты, называется матрицей влияния момента.

Прямоугольная матрица LQ, размером , элементами которой являются поперечные силы, называется матрицей влияния поперечных

сил. Здесь , m – количество расчётных сечений.

В матричных расчётах нагрузку и эпюры удобно изображать в виде столбцов чисел.

Векторы внутренних усилий M и Q формируются через вектор внешней нагрузки F и матрицу влияния L.

Матрицы влияния можно формировать по столбцам и строкам.

3.1. Формирование матриц влияния по столбцам

Порядок формирования матриц влияния изгибающих моментов Lm и поперечных сил LQ по столбцам, то есть с использованием единичных эпюр изгибающих моментов М и поперечных сил Q:

•нумеруются сечения в узловых точках 1, 2, 3, ..., m и в середине выделенных участков 1, 2, ..., ;

•в каждое расчётное сечение или узел поочерёдно перемещается груз F=1 и строятся единичные эпюры M и Q (рис. 3.1),

•формируются матрицы влияния Lm и LQс единичных эпюр М и Q.

Для матрицы влияния моментов Lm количество строк равно количеству сечений m, а количество столбцов числу единичных эпюр изгибающих моментов М.

Рис. 3.1. Единичные эпюры М и Q в простой и консольной балках

Для матрицы влияния поперечных сил LQ количество строк равно количеству

сечений , а количество столбцов – числу единичных эпюр поперечных сил

Q.

В каждом сечении m, проставляются значения с соответствующих эпюр с учётом знака.

3.2. Формирование матриц по строкам

Порядок формирования матриц влияния Lm и LQ по строкам, то есть с использованием линий влияния усилий М и Q:

•нумеруются расчётные сечения 1, 2, ..., m и сечения в середине расчётных участков 1, 2, ..., ;

•строятся лв M для сечений 1, 2, ..., m;

•строятся лв Q для сечений 1, 2, ..., ;

•формируются матрицы влияния Lm и LQ с линий влияния изгибающих моментов М и поперечных сил Q.

Для матрицы влияния моментов Lm количество строк равно числу линий влияния М, а количество столбцов – числу расчётных сечений m; для матрицы влияния поперечных сил Lq количество строк равно числу линий

влияния Q , а количество столбцов – числу расчётных сечений m.

В каждом сечении m проставляются значения ординат с соответствующих линий влияния усилий с учётом знака.

4. ПРИМЕР СОСТАВЛЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ МАТРИЦ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ МНОГОПРОЛЁТНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Для многопролётной шарнирной балки требуется:

•вычертить в масштабе схему балки и указать размеры пролётов в метрах;

•проверить геометрическую неизменяемость системы;

•заменить распределённую нагрузку силами, сосредоточенными в уздах деления балки на участки, составить вектор нагрузки;

•составить матрицы влияния моментов и поперечных сил, используя единичные эпюры;

•получить с помощью матриц влияния векторы изгибающих моментов и поперечных сил;

•построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от заданной нагрузки;

•с помощью матрицы влияния построить линию влияния изгибающего момента в сечении m;

–загрузить линии влияния Rn, MK, QK1 заданной постоянной нагрузкой и сравнить полученные значения R, M, Q с ординатами эпюр;

•составить вектор нагрузки, матрицы влияния моментов Lm и поперечных сил LQ, используя линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил;

•получить с помощью матриц влияния векторы изгибающих моментов М

и поперечных сил Q, построить эпюры MF и QF и сравнить с аналитическим расчётом;

•загрузить линии влияния MK подвижной нагрузкой НК-80 и определить экстремальное значение М;

•определить наибольшее значение М по линиям влияния, используя таблицы эквивалентных нагрузок.

Схема шарнирно-консольной балки и исходные данные приведены на рис. 5.1.

Дано:

d = 4м, L = 3м, L1 = 12м,

F = 8кн, n = 3 q = 3кн/м.

Рис. 5.1 Схема многопролётной балки

5.1. Кинематический анализ сооружения

Подсчитываем степень свободы заданной балки.

П = 3Д - 2Ш - С0 = 3 х 2 - 2 х 1 - 4 = 6 - 6 = 0.

Необходимое условие для образования геометрически неизменяемой системы удовлетворяется. Условие правильности структуры балки также удовлетворяется, так как элемент 0-2 присоединён к жёсткой балке 2-6 тремя кинематическими связями – шарниром 2 и опорным стержнем 1. Поэтажная схема изображена на рис. 5.2,а.

5.2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил от заданной постоянной нагрузки

Для построения эпюр М и Q в шарнирно-консольной балке сначала определяются реакции и строятся эпюры М0-2 и Q0-2 для второстепенной балки 0-2 (рис. 5.2, б, г).

, ; R2 = F = 8; (кн);

, , (кн).

Проверка опорных реакций: , -F + R1 - R2 = -8 + 16 - 8 = 0.

Эпюры Q и М строятся методом характерных точек.

(кн), Q1 = Q2 = -F + R1 = -8 + 16 = 8 (кн),

(кнм).

Реакция R2 с обратным направлением прикладывается к основной балке 2-6, после чего строятся эпюры М2-6, Q2-6 (рис. 25,в).

, R2 х 12 + R3 х 8 + q х 4 х 2 - q х 8 х 8 = 0, R3 = (3 х (64 - 8) - 8 х 12) / 8

= 9(кн).

, R2 х 4 + q х 4 х 10 - R5 х 8 = 0, R5 = (8 х 4 + 3 х 4 х 10) / 8 = 19(кн).

Проверка опорных реакций:

, R2 - q х 8 + R3 + R5 + q х 4 = 8 - 3 х 8 + 9 + 19 - 3 х 4 = 36 - 36 = 0.

эпюры Q и М:

Q2 = R2 = 8 (кн), (кн), (кн),

(кн), Q6 = 0, Q5 = q х 4 = 3 х 4= 12

(кн)

M2 = M6 = 0, M3 = R2 х 4 - q х 4 х 2 = 8 х 4 - 3 х 8 = 8 (кнм), M4 = R2 х 8 - q х

х 8 х 4 + R3 х 4 = 8 х 8 - 3 х 32 + 9 х 4 = 4 (кнм), (кнм), M5 = -q х 4 х 2 = -3 х 8 = -24 (кнм).

Отложив все ординаты М и Q от одной горизонтальной оси (рис. 5.2,г) получаем эп. М и эп. Q для заданной балки.

Рис. 5.2. Поэтажная схема

5.3. Построение линий влияния R3, MK, QK1 статическим способом

Линии влияния R3, MK, QK1 строятся как однопролётные балки. Груз F=1 сначала помещается на основную, а затем на второстепенную балку (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Построение линий статическим способом

Линия влияния R3

Опора 3 принадлежит основной балке 2-6. F = 1 – на главной балке 2-6:

лв R3(x) = (8 - x) / 8 – уравнение прямой.

лв R3 / x = 0 = (8 - 0) / 8 = 1, лв R3 / x = 8 = (8 - 8) / 8 = 0,

лв R3 / x = 12 = (8 - 12) / 8 = -0.5, лв R3 / x = -4 = (8 - (-4)) / 8 = 1.5. F = 1 на второстепенной балке 0-2.

Уравнение линии влияния R3:

лв R3(x1) = лв R2(x1) х R3 / x = -4 = 1.5 х лв R2 = 1.5 х x1 / 4.

лв R3 / x1 = 4 = 1.5 ? 4 / 4 = 1.5; лв R3 / x1 = 0 = 0; лв R3 / x1 = -4 = -1.5 х 4 / 4 = -1.5.

Линия влияния QK1

Сечение К1 расположено на основной балке 2-6, между опорами, причём бесконечно близко к опоре 3.

F = 1 – справа от сечения К1 – равновесие левой части.

, ЛВ QK1 = ЛВ R3(x) = (8 - x) / 8. ЛВ QK1 / x = 0 = (8 - 0) / 8 = 1; ЛВ QK1 / x = 8 = (8 - 8) / 8 = 0; ЛВ QK1 / x = 12 = (8 - 12) / 8 = -0.5.

F = 1 слева отсечения К1, равновесие правой части.

, ЛВ QK1(x) = - ЛВ R5(x) = -x / 8. ЛВ QK1 / x = 0 = 0, ЛВ QK1 / x = -4 = 4 / 8 = 0.5.

ЛВ QK1 / x1 = 4 = 0.5 х 4 / 4 = 0.5; ЛВ QK1 / x1 = 0 = 0; ЛВ QK1 / x1 = -4 = -0.5 х 4 / 4 = 0.5.

Линия влияния МК

Сечение К расположено на второстепенной балке 0-2, между опорами. Следовательно, ЛВ МК на основной балке 2-6 – нулевая. Второстепенная балка 0-2.

F = 1 – справа от сечения К, равновесие левой части.

; ЛВ MK = 3 л. в R1(x1) = 3 х (4 - x1) / 4. ЛВ MK / x1 = 3 = 3 х (4 - 3) / 4 = 0.75, ЛВ MK / x1=4 = 3 х (4 - 4) / 4 = 0.

F = 1 слева от сечения К, равновесие правой части.

; ЛВ MK(x1) = 1 л. в R2(x1) = x1 / 4, ЛВ MK / x1 = -4 = -4 / 4 =-1; ЛВ MK / x1 = 3 = 3 / 4 = 0.75.

Линии влияния R3, QK1, MK приведены на рис. 5.4. F = 1 – на второстепенной балке 0-2.

ЛВ QK1(x1) = ЛВ R2(x1) х QK1 / x = -4 = 0.5 х ЛВ R2(x1) = 0.5 х x1 / 4.

5.4. Построение линий влияния R3, QK1, MK кинематическим методом Линия влияния R3 строится таким образом:

–удаляется опорная связь 3, шарнирно-консольная балка превращается в механизм с одной степенью свободы;

–прикладывается опорная реакция R3 как внешняя нагрузка и строится эпюра возможных перемещений полученного механизма

(рис. 5.5,а). При этом точка 3 перемещается на величину вверх по направлению R3, шарнир 2 не препятствует повороту стержней 2-6 относительно опоры 5, а 0-2 – вокруг опоры 1;

– составляется уравнение работ всех сил, действующих на систему:

, ;

– для определения величины и знака ординаты линии влияния R3 груз F = 1 помещается на опоре 3. В этом случае и

(кн);

– остальные ординаты лв R3 определяются в соответствии

с рис. 5.5,б из геометрических соображений, например, из подобия треугольников А-2-5, В-3-5

, (кн).

Линия влияния QK1 строится таким образом:

•в сечение К1 для нарушения связи вводится ползун;

•к концам получившихся частей балки прикладываются две равные и противоположно направленные силы QK1;

•под действием сил QK1 (рис. 5.5,в) стержень К1-6 поворачивается относительно опоры 5, при этом точка К1 перемещается вверх на величину . Стержень К1-2 поворачивается вокруг опоры 3, точка К1 перемещается вниз на величину . Стержень 2-0 поворачивается относительно опоры 1, так как соединён со стержнем 2-К1 шарниром 2;

•составляется уравнение работ сил, действующих на полученный механизм:

,

; F = 1 – в сечении К1 справа, ; b = 8м, а = 0