§7.3 Параметрический дискриминантный анализ, в случае нормальных классов

плотность многомерного нормального распределения:

В этом случае j-ый класс идентифицируется p-мерной нормальной плотностью с вектором средних a_j и ковариационной матрицей Σ, общей для всех классов:

                                                 (7.7)

В качестве оценки для f_j(X) используются функции:

, где оценка для p-мерных векторов средних a_j. оценка для ковариационной матрицы.

Эти оценки получены с помощью метода максимального правдоподобия по обучающим выборкам:

                                                                                     (7.8)

из (7.6) следует что                                                   (7.9)

,

(7.10)

В частности для k=2 и

(7.11)

в остальных случаях.

Для одномерного случая .

Пример:

Склонность фирм к утаиванию своих доходов (а значит и уклонению от уплаты налогов) определяется двумя показателями

X⁽¹⁾ –соотношение ” быстрых активов ” и текущих пассивов.

X⁽²⁾ –соотношение прибыли и процентных ставок.

Показатели оцениваются по особой методике в шкале от 300 до 900 баллов.

По данным налоговой инспекции получены две обучающие выборки:

- фирма уклоняется от налогов.

- фирма не имеет замечаний по уплате налогов

фирма не прошла проверку.

1	740	680	750	590
2	670	600	360	600
3	560	550	720	750
4	540	520	540	710
5	590	540	570	700
6	590	700	520	670
7	470	600	590	790
8	560	540	670	700
9	540	630	620	730
10	500	600	690	840
11			610	680
12			550	730
13			590	750

фирма уклоняется от налогов.

Пункт 8. Расщепление смеси вероятностных распределений

В начале раздела будет кратко изложена задача расщепления смеси вероятностных распределений в рамках классификации без обучения (параметрический случай)

Пример:

Два станка 1 и 2, выпускающих одно и тоже изделие. Распределение размеров деталей 1 станка (a₁,σ₁), 2 станка (a₂,σ₂). Производство второго станка выше первого в 1,5 раза.

Если размеры выпускаемых изделий.

В более общей формулировке: имеется выборка из общей генеральной совокупности

f_j(X) унимодальное распределение. Обучающих выборок нет. Требуется определить для каждого X_v из какой генеральной совокупности оно взято.

В параметрическом случае , -многомерный параметр.

По выборке следует построить оценки к: , .

В некоторых случаях априорные сведения дают исследователю точные значения числа компонент k и вероятности . После нахождения , , задача сводится к изложенной выше схеме параметрического дискриминантного анализа.

В заключение напомним, в случае когда у исследователя нет оснований интерпретировать классифицируемые наблюдения , в качестве выборки из какой-либо генеральной совокупности следует пользоваться изложенным ранее методами кластерного анализа.