XIV. Потенциальное поле.

Опр. Векторное поле

a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k, заданное в пространственной области Ω наз. потенциальным, если сущ. ф-ция φ(M) = φ(x,y,z), что во всех точках области выполняется равенство

a(M) = grad φ(M)

Ф-ция φ(M), удовлетворяющая в обл. Ω этому равенству, наз. потенциалом векторного поля a(M).

Теорема.

Пусть в поверхностно-односвязной области Ω задано векторное поле a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k, где ф-ции P, Q, R ― непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда:

1°. Векторное поле a(M) ― безвихревое,т.е. rot a=0

2°. Линейный интеграл векторного поля a(M) по любому замкнутому контуру L Є Ω, равен нулю.

3°. Линейный интеграл векторного поля a(M) по любому пути, соединяющему две точки обл. Ω, не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути.

Любое из этих условий есть условие потенциаль-ности векторного поля.

Док-во:

1°. a = grad φ, т.е.

Подставляя эти выра-

жения в формулу для rot a и учитывая равенство соответствующих вторых смешанных производных, получаем, что rot a = 0, ЧТД.

2°. Пусть rot a = 0 в области Ω, L ― замкнутый контур, лежащий в Ω. Натянем на него пов-ть Σ, со-держащуюся в Ω. Тогда из теоремы Стокса получаем

ЧТД.

M

II

3°. Рассм. две произвольные

т. A и M из Ω. Соединим

A

I

их двумя различными кривыми.

Пусть справедливо 2°, тогда

По св-ву линейных интегралов:

ЧТД.

Следствие: потенциал φ(x,y,z) заданного потенци-ального векторного поля a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k определяется формулой

где M₀(x₀,y₀,z₀) ― некоторая фиксированная точка, а M(x,y,z) ― произвольная текущая точка обл. Ω.

Следствие: линейный интеграл в потенциальном поле a(M) равен разности значений потенц. φ(M) в конечной и начальной

точках пути интегрир.

XV. Соленоидальное поле.

Опр. Векторное поле a(M) = {A₁, A₂, A₃}, заданное в пространственной области Ω наз. соленоидальным (трубчатым), если сущ. векторное поле b = {B₁, B₂, B₃}, для которого вектор a явл. ротором: a(M) = rot b(M).

Векторное поле b, удовлетворяющее этому условию, наз. векторным потенциалом поля a.

Теорема.

Пусть в объемно-односвязной области Ω задано векторное поле a = A₁(x, y, z)i + A₂(x, y, z)j + A₃(x, y, z)k. Тогда:

1°. Поток векторного поля a через любую замкнутую пов-ть равен нулю.

2°. Поток векторного поля a через любое поперечное сечение данной векторное трубки один и тот же.

3°. Дивергенция векторного поля a равна нулю во всех точких области Ω.

Любое из этих условий есть условие соленоидаль-ности векторного поля.

Док-во:

1°. Рассм. замкнутую пов-ть Σ, ограничивающую обл. V, целиком лежащую в Ω. По теореме Остроградкого-Гаусса:

+

div a = div (rot b) =

, ЧТД..

2°. Рассм. отрезок векторной трубки между двумя ее произвольными сечениями Σ₁ и Σ₂. Боковую пов-ть отрезка трубки, образованную векторными линиями поля a, обоз. через Σ₃. В силу св-ва 1° получаем:

n°

n°

где n° ― внешняя нормаль.

n₂°

На пов-ти Σ₃: (a,n°) = 0,

тогда ∫∫_Σ3 (a, n°)dσ = 0.

a

Изменяя на Σ₂ направление

Σ₂

нормали на противоположное

n°

Σ₁

(согласно с направлением

нормали на Σ₁), получаем

∫∫_Σ1 (a, n°)dσ = ∫∫_Σ2 (a, n°)dσ,

т.е. поток соленоидального векторного поля через поперечные сечения векторной трубки сохраняет постоянную величину (ее наз. интенсивностью векторной трубки), ЧТД.

3°. Возьмем в качестве тела V, окружающего выбран-ную произвольную точку M Є Ω, отрезок вектор-ной трубки. Тогда для Σ = Σ₁ + Σ₂ + Σ₃, проводя рассуждения пункта 2° в обратном порядке, имеем ∫∫_Σ (a, n°)dσ = 0. След., по инвариантному определению дивергенции

где предел вычисляется, когда пов-ть Σ стягивается в точку M, ЧТД.

Made by Nutcracker

You're encouraged and legally entitled

to copy, pass and modify this crib.

Share the spirit of cribs!

www.cribscreation.ru