Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Higher mathematics - Multiple integrals & field...rtf
Скачиваний:
0
Добавлен:
27.09.2019
Размер:
99.93 Кб
Скачать

МЭИ - Высшая математика

Кратные интегралы и теория поля

I. Измерение мн-ва в пространстве Rn.

Опр. Элементарные мн-ва ― мн-ва, состоящие из конечного числа прямоугольных мн-в, которые могут пересекаться только по их границе.

Замечание: площадь фигуры не зависит от способа разбиения этой фигуры на части.

Опр. Точной нижней гранью мн-ва B Є Rn наз. число m = inf B, т.ч.

1) V x Є B x ≥ m

2) V ε>0 сущ. x Є B, т.ч. x < m + ε

Опр. Точной верхней гранью мн-ва B Є Rn наз. число M = sup B, т.ч.

1) V x Є B x ≤ M

2) V ε>0 сущ. x Є B, т.ч. x > M - ε

Опр. Если сущ. inf μ(Eex*) = sup μ(Ein*), то мн-во E называется измеримым и мера мн-ва

μ(E) = inf μ(Eex*) = sup μ(Ein*)

Теорема.

Если мн-во E ограничено замкнутой гладкой кривой, то оно измеримо.

Замечание: если мн-во не является ограниченным, то его мера равна бесконечности.

II. Кратные интегралы.

Пусть в прост-ве Rn дано измеримое мн-во E (μ(E)<+∞) и V x = (x1,..., xn) Є E сущ. f(x)=y.

Опр. Диаметром мн-ва E наз. число

diamE = sup ρ(x*, x**), x*, x** Є E

Опр. Число I наз. n-кратным интегралом ф-ции y=f(x) на измеримом мн-ве E, если V ε>0 сущ. δ=δ(ε), т.ч. V разбиения T = {ei}n с диаметром diam ei = sup ρ(x*, x**) < ε и набора точек ξ =

{ξi}n вып.

Свойства кратного интеграла.

1) Линейность.

E∫(αf + βg)dx = αE∫fdx + βE∫gdx

2) Аддитивность.

μ(E1 U E2) = 0 → E1 U E2∫ = E1∫ + E2

3) Монотонность.

а) V x Є E f(x) ≤ g(x) ≤ c, то

E∫fdx ≤ E∫gdx ≤ c·μ(E)

б) Если f(x) ≥ 0 и E2 > E1, то E2∫fdx ≥ E1∫fdx

Теорема о существовании кратного интеграла.

Теорема.

Если мн-во в n-мерном прост-ве ограничено и измеримо, а ф-ция ограничена и непрерывна, причем мн-во ее точек имеет меру 0, то интеграл от данной ф-ции по данному мн-ву существует.

Краткая формулировка теоремы Фубини.

Теорема.

Если сущ. кратный интеграл, то сущ. все его повтор-ные интегралы и они равны между собой.

Теорема о среднем для кратного интеграла.

Теорема.

Пусть ф-ция y = f(x) V x Є Rn непрерывна на компакте E. Тогда сущ. т. x* Є E, т.ч.

E∫f(x)dx = f(x*)·μ(E)

III. Двойной интеграл.

Опр. Число I наз. двойным интегралом от ф-ции f(M) по ограниченной области D, если V ε>0 сущ. δ=δ(ε), т.ч. V разбиения T = {ei}n с диаметром diam ei < ε и наборе точек Mk вып.

При этом ф-цию f(M) наз.

интегрируемой на обл. D,

а двойной интеграл запис. в виде

Теорема.

Если ф-ция f(M) непрер. в замкнутой квадрируемой области D, то двойной интеграл существует, т.е. f(M) интегрируема на D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых коорд. с помощью двух послед. интегрирований.

y

y= φ2(x)

Пусть область D состоит из

точек M(x, y), координаты

D

которых удовлетвояют нера-

y= φ1(x)

венствам типа a ≤ x ≤ b,

φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x). Области

x

x

a

b

такого типа наз. правильными

в направ. Oy. В области D задана ф-ция z = f(x, y).

Повторным интегралом наз. число

При его вычислении

сначала находим внут-

ренний интеграл, вре-

менно считая x постоянной,

φ1(x)φ2(x) f(x,y)dy = F(x,φ2(x))-F(x,φ1(x))=S(x)

При этом F(x, y) ― первообразная от f(x, y) по y. Затем находим I = ab S(x)dx

IV. Замена переменных в 2-ом интеграле.

Пусть ф-ции x = x(u, υ), y = y(u, υ) задают взаимно однозначное непрерывное соответствие точек области D на пл-ть Oxy

и точек области G на пл-ть O'uυ.

Определитель

наз. якобианом отображения

обл. G на обл. D в точке (u, υ).

Теорема.

Пусть D и G ― замкнутые квадрируемые области, ф-ция f(x,y) ограничена в области D и непрер. в ней, а отображение x = x(u, υ), y = y(u, υ) удовлетворяет следующим условиям:

1°. Отображение взаимно однозначно, т.е. различным т. (u, υ) Є G соответствуют различ. т. (x, y) Є D.

2°. Ф-ции x(u, υ), y(u, υ) непрерывны в G вместе со своими частными производными первого порядка.

3°. Якобиан отображения не равен нулю.

Тогда справедливо равенство

∫∫D f(x,y)ds = ∫∫G f(x(u,υ), y(u,υ)) |J(u,υ)| dudυ

Двойной интеграл в полярной системе координат.

Связь полярных координат с декартовыми опреде-ляется соотношениями:

x = ρcosφ, y = ρsinφ (ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π)

Якобиан перехода к полярным координатам:

Элемент площади в полярных координатах:

ds = dSсект2 = [(ρ+dρ)2 - ρ2]dφ / 2 =

= [ρ2 + 2ρdρ + (dρ)2 - ρ2]dφ / 2 =

= [dρ + 2ρ]dφdρ / 2 ≈ 2dφdρ / 2 = ρdρdφ

Двойной интеграл в полярных коорд. запис. в виде:

∫∫D f(x,y)dxdy = ∫∫D f(ρcosφ, ρsinφ)ρdρdφ =

= αβρ1(φ)ρ2(φ) f(ρcosφ, ρsinφ)ρdρ

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]