1°. Линейность.

П_Σ (a + b) = П_Σ (a) + П_Σ (b)

П_Σ (k·a) = k · П_Σ (a)

2°. Аддитивность.

П_Σ (a + b) = П_Σ1 (a) + П_Σ2 (a)

3°. Перемена знака при смене ориентации.

П_Σ+ (a) = - П_Σ- (a)

Вычисление потока.

Вычисление потока сводится к вычислению поверх-ностного интеграла 1-го рода. А поэтому, если пов-ть σ взаимнооднозначно проект. на площадку D_xy, то поток через пов-ть σ векторного поля a выч. по ф-ле:

_(x,y,z(x,y))

Замечание: если пов-ть не может быть спроектирова-на взаимнооднозначно ни на одну из координатных плоскостей, то эту пов-ть нужно разбить на части, которые могут быть спроектированы и сложить потоки, применяя св-во аддитивности.

Практический метод вычисления потока:

1) Записать уравнение пов-ти в явном виде и найти ее проекцию.

2) Вычислить координаты вектора градиента и его длину, т.к. градиент перпендикулярен пов-ти.

n° = ± grad u / |grad u|

Знак выбирают по условию направления нормали.

3) Вычислить скалярное произведение и подставить в него формулу явного выражения пов-ти.

4) Вычислить элемент площадки повехности σ.

5) Записать двойной интеграл, вычислить его, при необходимости переходя к полярным координатам.

XII. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивер-генция векторного поля.

Теорема.

Если в некоторой пространственной обл. G коорд. P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) векторного поля a(M) = Pi + Qj + Rk непрер. и имеют непрер. частные произв. ∂P/∂x, ∂Q/∂y и ∂R/∂z, то тогда

n₁°

― формула Остроградского-Гаусса, где

z

Σ₁

n°= {cosα, cosβ, cosγ} ―

единичный вектор внешней

нормали к замкнутой

Σ₃

n₃°

кусочно-гладкой пов-ти Σ.

Док-во:

Предположим, что обл. Ω

правильная в отн. оси Oz,

y

т.е. обл. Ω ограничена

D_xy

n₂°

Σ₂

кусочно-гладкими пов-тями

x

Σ₁: z = z₁(x,y) и Σ₂:

z = z₂(x,y), где (x,y) Є D_xy, причем z₁(x,y) ≥ z₂(x,y) и цилиндрической пов-тью Σ₃, с образую-щей паралельной оси Oz.

Докажем, что

По правилу вычисления тройного интеграла:

=∫∫_Dxy [R(x,y,z₁(x,y))dxdy-R(x,y,z₂(x,y))]dxdy

На пов-ти Σ₁ cosγ > 0 и, след., dσ = dxdy/cosγ,

т.е. ∫∫_Σ1 Rcosγdσ = ∫∫_Dxy R(x, y, z₁(x,y))dxdy

На пов-ти Σ₂ cosγ < 0 и, след., dσ = -dxdy/cosγ,

т.е. ∫∫_Σ2 Rcosγdσ = - ∫∫_Dxy R(x, y, z₂(x,y))dxdy

На пов-ти Σ₃ cosγ = 0 и, след., ∫∫_Σ3 Rcosγdσ = 0

Тогда ∫∫_Σ Rcosγdσ = ∫_Σ1 Rcosγdσ +

+ ∫∫_Σ2 Rcosγdσ + ∫∫_Σ3 Rcosγdσ =

=∫∫_Dxy [R(x,y,z₁(x,y))dxdy-R(x,y,z₂(x,y))]dxdy

Получили, что

Т.к. обл. Ω аналогично проектируется на площадки D_yz и D_xz, то для ф-ций Q(x, y, z) и P(x, y, z) проводим точно такое док-во. Складываем все три формулы и получаем искомое выражение, ЧТД.

Дивергенция векторного поля.

Пусть в прост-ве введена декартова СК Oxyz и в пространственной области G задано векторное поле

a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k

Предположим, что ф-ции P, Q, R непрерывны со своими частными производными.

Опр. Дивергенцией векторного поля a(M) наз. скалярная величина, обоз. сомволом div a и равная

div a = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)

Инвариантное определение дивергенции.

Пусть выполнены условия т. Остроградского-Гаусса. Рассм. в обл. G произв. т. M. Окружим ее пов-тью Σ произв. формы. Область, огранич. пов-тью Σ, пусть будет Ω, а ее объем V. По ф-ле Остр.-Гаусса:

Применив к тройному интегралу теорему о среднем,

где div a(M') ― значение дивергенции в некоторой определенной т. M' внутри обл. Ω. Тогда

Перейдем к пределу, стягивая обл. Ω к точке M, при этом M' → M, получаем

т.е. дивергения в данной т. M поля a является преде-лом отношения потока векторого поля через замкну-тую пов-ть к объему обл., огранич. этой замкнутой пов-тью, при условии, что обл. стягивается к т. M.

Это означает, что дивергения поля a в т. M есть объемная плотность потока вектора a в этой точке.

Точки, в которых div a > 0 наз. источниками, а точки, где div a < 0 наз. стоками векторного поля.