XIII. Линейный интеграл в векторном поле. Ротор векторного поля. Формула Стокса.

Пусть в некоторой обл. Ω задана ориентированная кусочно-гладкая кривая L и непрер. векторное поле

a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k

Опр. Линейным интегралом от векторного поля a(M) вдоль ориентированной кривой L наз. общий криволинейный интеграл вида:

∫_L P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

Если r = r(M) есть радиус-вектор произвольной точки M кривой L, то линейный интеграл можно записать в векторной форме ∫_L (a, dr), где

dr = dx·i + dy·j + dz·k ― вектор-диф-л кривой L

Пусть a(M) ― силовое поле. Тогда (a(M), dr) ― работа силы a на элементарном перемещении dr и, след., линейный интеграл ∫_L (a, dr) есть работа силы a(M) при перемещении точки вдоль кривой L (физический смысл линейного интеграла).

Опр. Циркуляцией Ц векторного поля a = a(M) наз. линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой ориен-

тированной кривой L:

Ротор векторного поля.

Пусть в обл. Ω задано векторное поле

a(M) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k,

причем координаты P, Q, R вектора a(M) непрер. и имею непрер. частные производные первого порядка по всем своим аргументам.

Опр. Ротором (вихрем) векторного поля a(M) наз. вектор, обозначаемый символом rot a(M) и опреде-

ляемый равенством

Формула Стокса.

Теорема.

Циркуляция векторного поля a = {P, Q, R} по замкнутому кусочно-гладкому контуру L равна потоку ротора этого векторного поля через любую кусочно-гладкую пов-ть Σ, натянутую на контур L:

― форлула Стокса,

или в координатной форме:

Док-во:

z

Предполагается, что ориентация

n°

нормали n°={cosα,cosβ,cosγ}

к пов-ти Σ согласована с ориента-

L

цией контура L так, чтобы из конца

нормали обход контура в выбранном

направ. был виден против часовой

y

l

D

стрелки. Пусть гладкая пов-ть Σ

x

задана в виде z = z(x,y), где

(x,y) Є D. Обоз. через l проекцию контура L на пл-ть Oxy, огранич. на ней обл. D. Пусть направление обхода контура L выбрано таково, что нормаль к пов-ти образует острый угол с осью Oz. Преобразуем правую часть ур-ния в двойной интеграл по обл. D.

Имеем:

Для элемента площади получим dσ = dxdy / cosγ

Правая часть формулы запишется так:

_z=z(x,y)

Преобразуем теперь интеграл по контуру L в левой части ур-ния сначала в криволинейный интеграл по контуну l, а затем в двойной интеграл по обл. D.

Все точки контура L удовлетв. ур-нию пов-ти z = z(x,y), из которого следует, что dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy, и левая часть ур-ния запишется так:

_z=z(x,y)

В последнем интеграле со-

держатся только две коорди-

наты x,y и поэтому интегрир. по прост-венному кон-туру L можно заменить интегрир. по его проекц. l.

где

_z=z(x,y)

_z=z(x,y)

Применяя формулу

Грина, получаем:

На основании

правил диф-ния сложных ф-ций найдем, что

Аналогично для ф-ции P₁.

_z=z(x,y)

После подстановки этих

выражений и приведения

подобных членов получаем:

Сравнивая ур-ния

_z=z(x,y)

(1) и (2), получаем,

что правые части

равны. След., равны и левые части. Отсюда получаем искомую формулу, ЧТД.