X. Скалярное поле. Градиент.

Опр. Если в каждой точке пространства задано значение формулы u = f(x, y, z), то говорят, что задано скалярное поле u.

Примеры скалярных полей: температура, давление, влажность, плотность, заряд и т.д.

Производная скалярного поля по направлению.

Пусть в некоторой области задано скалярное поле u = u(M). Рассм. т. M₀ с направляющим вектором l. Возьмем т. M на прямой l. Пусть ∆l ― величина направленного отрезка M₀M и т. M стремится к т. M₀, оставаясь все время на прямой l.

Опр. Если при ∆l → 0 сущ. предел отн. ∆u/∆l, то его наз. производной скалярного поля u = u(M) в данной т. M₀ по направлению l и обозначают ∂u/∂l:

_M0

_M0

Теорема.

Пусть ф-ция u(x, y, z) диф-ма в т. M₀(x₀, y₀, z₀) и

l° = {cosα, cosβ, cosγ} ― единичный направ. вектор прямой l. Тогда производная скалярного поля u(M) по направлению l сущ. и справедлива формула

_M0

_M0

_M0

_M0

Градиент скалярного поля.

Опр. Градиентом скалярного поля u в данной точке M(x, y, z) называется вектор, обозначаемый симво-лом grad u и определяемый равенством

_M

_M

_M

Свойства градиента.

1°. Градиент скалярного поля направлен по нормали к пов-ти уровня поля, проход. через данную точку.

2°. В любой точке производная скалярного поля u по направлению l равна скалярному произведению вектора grad u на единичный вектор l° этого направления: ∂u/∂l = (grad u, l°)

3°. Производная скалярного поля u(M) по направле-нию l достигает наибольшего значения, когда направ. вектор l прямой совпадает с направ. grad u, причем длина |grad u| дает наибольшее значение производ-ной по направлению в данной точке.

Инвариантное определение градиента.

Градиентом скалярного поля u в т. M₀ наз. вектор grad u, который указывает направ. наибольшего роста скалярного поля u в этой точке,а |grad u| есть скорость роста поля u в этом направлении.

XI. Векторное поле. Поток через пов-ть.

Опр. Если в каждой точке пространства задан вектор a = {P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)}, то говорят, что задано векторное поле.

Примеры векторных полей: напряженность электри-ческого поля, индукция магнитного поля, поле скоростей стационарного потока жидкости и т.д.

Опр. Векторной линией векторного поля наз. кривую, в каждой точке которой направление касательного вектора совпадает с направлением векторного поля.

Опр. Векторной трубкой векторного поля наз. мн-во всех векторных линий, проходящих через какой-либо замкнутый контур в пространстве.

Поток векторного поля через поверхность.

Рассм. векторное поле a(M), определенное в прост-ранственной области G, и некоторую кусочно-гладкую двустороннюю поверхность Σ, у которой выбрана определенная сторона (ориентированная пов-ть). Пусть n°(M) ― поле единичных нормалей на выбранной стороне пов-ти Σ.

Опр. Потоком П векторного поля a(M) через ориентир. пов-ть Σ наз. поверхностный интеграл первого рода по пов-ти Σ от проекции a(M) на нормаль n°(M) к этой пов-ти: П = ∫∫_Σ (a, n°)dσ

Если в прост-ве задана декартова система координат и a = {P, Q, R}, n° = {cosα, cosβ, cosγ}, то выражение для потока принимает вид:

П = ∫∫_Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ)dσ

Свойства потока.