V. Тройной интеграл.

Опр. Число I наз. тройным интегралом от ф-ции f(M) по кубируемой области Ω, если V ε>0 сущ. δ=δ(ε), т.ч. V разбиения T = {e_i}ⁿ с диаметром diam e_i < ε и наборе точек M_k вып.

При этом ф-цию f(M) наз.

интегрируемой на обл. D,

а тройной интеграл запис. в виде

Теорема.

Если ф-ция f(M) непрер. в замкнутой кубируемой области Ω, то тройной интеграл существует, т.е. f(M) интегрируема на Ω.

Вычисление тройного интеграла в декартовых коорд. с помощью трех послед. интегрирований.

Пусть область Ω = {(x, y) Є D, z₁(x, y) ≤ z ≤ z₂(x, y)} и для любой т. M(x, y) Є D сущ. опреде-ленный интеграл I(x, y) = _z1(x,y)∫^z2(x,y) f(x, y, z)dz. Тогда существует двойной интеграл

∫∫_D I(x,y)dxdy = ∫∫_D dxdy _z1(x,y)∫^z2(x,y) f(x,y,z)dz,

который называется повторным, и справедливо равенство ∫∫∫_Ω f(x, y, z)dxdydz =

= ∫∫_D dxdy _z1(x,y)∫^z2(x,y) f(x,y,z)dz,

причем при вычислении внутреннего интеграла по переменной z переменные x, y временно считаются постоянными.

Если при этом область D ― криволинейная трапеция D = {a ≤ x ≤ b, y₁(x) ≤ y ≤ y₂(x)}, то записывая двойной интеграл по D в виде повторного, получаем

VI. Замена переменных в 3-ом интеграле.

Теорема.

Пусть Ω и G ― замкнутые кубируемые области, ф-ция f(x, y, z) ограничена в обл. D и непрер. всюду в D, а отображение x = x(u, υ, ω), y = y(u, υ, ω), z = z(u, υ, ω) удовлетворяет следующим условиям:

1°. Отображение взаимно однозначно.

2°. Ф-ции x = x(...), y = y(...), z = z(...) непрер. в вместе со своими частными произв. 1-го порядка.

3°. Якобиан отображения не равен нулю.

Тогда справедливо равенство ∫∫∫_Ω f(x,y,z)dxdydz =

= ∫∫∫_G f(x(u,υ,ω), y(u,υ,ω), z(u,υ,ω))|J|dudυdω

Тройной интеграл в цилиндрической СК.

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z,

где 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ φ ≤ 2π, -∞ ≤ z < +∞

Координатные поверхности в рассм. случае:

а) ρ = const ― круговые цилиндрические пов-ти, осью которых служит ось Oz;

б) φ = const ― полупл-ти, проходящие через Oz;

в) z = const ― пл-ти, параллельные пл-ти Oxy.

Якобиан преобраз.:

Таким образом, ф-ла перехода к цилиндрическим координатам имеет вид: ∫∫∫_Ω f(x, y, z)dxdydz =

= ∫∫∫_G f(ρcosφ, ρsinφ, z)dρdφdz

Тройной интеграл в сферической СК.

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

x = rsinθ·cosφ, y = rsinθ·sinφ, z = zcosθ,

где 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ < π

Координатные поверхности в рассм. случае:

z

а) r = const ― концентрические

M

сферы с центром в нечале координат;

б) θ = const ― круговые конусы,

θ

осью которых служит ось Oz;

в) φ = const ― полупл-ти,

x

y

φ

M'

проходящие через Oz.

Якобиан преобразования:

= r²sinθ

Элемент объема в сферических координатах:

dV = r²sinθ·drdθdφ

Таким образом, ф-ла перехода к сферическим координатам имеет вид: ∫∫∫_Ω f(x, y, z)dxdydz =

= ∫∫∫_G f(rsinθ·cosφ, rsinθ·sinφ, rcosθ)dV

VII. Приложения кратных интегралов.

Вычисление массы и координат центра тяжести.

m = ∫∫∫_Ω ρdV

отн. Ox

x₀ = ∫∫∫_Ω x·ρdV / m ― координата центра тяжести

Вычисление момента инерции.

I_z = ∫∫∫_Ω (x² + y²)ρdV ― момент инерции отн. Oz